Zyklische Körpererweiterung/Norm/Hilbert Satz 90/Fakt/Beweis

Beweis

Der Grad der Galoiserweiterung und damit die Ordnung der zyklischen Galoisgruppe sei ${}n$. Wir betrachten zu ${}u\in L$ das Element

${}{\begin{aligned}z(u)&=u\cdot y+\sigma (u)\cdot y\cdot \sigma (y)+\sigma ^{2}(u)\cdot y\cdot \sigma (y)\cdot \sigma ^{2}(y)+\cdots +\sigma ^{n-1}(u)\cdot y\cdot \sigma (y)\cdots \sigma ^{n-1}(y)\\&=\sum _{j=0}^{n-1}\sigma ^{j}(u)\prod _{i=0}^{j}\sigma ^{i}(y)\end{aligned}}$

und behaupten

${}y\cdot \sigma (z(u))=z(u)\,.$

Dies beruht auf

${}{\begin{aligned}y\cdot \sigma (z(u))&=y\cdot \sigma {\left(\sum _{j=0}^{n-1}\sigma ^{j}(u)\prod _{i=0}^{j}\sigma ^{i}(y)\right)}\\&=\sum _{j=0}^{n-1}\sigma ^{j+1}(u)\cdot y\cdot \prod _{i=0}^{j}\sigma ^{i+1}(y)\\&=\sum _{j=0}^{n-1}\sigma ^{j+1}(u)\cdot \prod _{i=0}^{j+1}\sigma ^{i}(y)\\&=\sum _{j=1}^{n}\sigma ^{j}(u)\cdot \prod _{i=0}^{j}\sigma ^{i}(y)\\&=\sum _{j=0}^{n-1}\sigma ^{j}(u)\cdot \prod _{i=0}^{j}\sigma ^{i}(y)\\&=z(u),\end{aligned}}$

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass der Summand zu ${}j=n$ wegen der Voraussetzung und Fakt gleich

${}{\begin{aligned}u\cdot \prod _{i=0}^{n}\sigma ^{i}(y)&=u\cdot y\cdot \prod _{i=0}^{n-1}\sigma ^{i}(y)\\&=u\cdot y,\end{aligned}}$

also gleich dem Summanden zu ${}j=0$ ist.

Wir betrachten nun

${}z(-)=\sum _{j=0}^{n-1}\sigma ^{j}(-)\prod _{i=0}^{j}\sigma ^{i}(y)\,$

als eine Linearkombination der ${}\sigma ^{j}\colon L\rightarrow L$ mit den Koeffizienten ${}\prod _{i=0}^{j}\sigma ^{i}(y)$. Nach Fakt ist diese Linearkombination nicht die Nullabbildung. Daher gibt es ein ${}u\in L$ mit

${}z=z(u)\neq 0\,$

und für dieses gilt ${}y={\frac {z}{\sigma (z)}}$.

Zur bewiesenen Aussage