Zykloide/y in Abhängigkeit von x/Differenzierbarkeit/Aufgabe

Wir betrachten die Zykloide aus Beispiel, also die differenzierbare Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t))=(t-\sin t,1-\cos t).$

1. Zeige, dass ${}x(t)$ streng wachsend ist.
2. Zeige, dass

   $x\colon [0,2\pi ]\longrightarrow [0,2\pi ],\,t\longmapsto x(t),$

   bijektiv ist.

3. Es sei ${}h(x)$ die Umkehrfunktion zu ${}x(t)$ aus Teil (2). Zeige, dass ${}h$ in ${}0$ und in ${}2\pi$ nicht differenzierbar ist.
4. Drücke ${}y(t)$ als Funktion von ${}x$ aus. Wie verhält sich der Graph zu dieser Funktion zu der Zykloide? Ist diese Funktion differenzierbar?

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