Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Geburtenrate

Hier wird ein Demoprojekt zum Thema Geburtenrate erstellt.

Modellierungsproblem

Um die Geburtenrate in Deutschland zu steigern, soll analysiert werden, in welchem Alter die Frauen in Deutschland ihr erstes Kind bekommen und wie man Förderungsmaßnahmen verbessern kann, um Frauen eine größtmögliche Unterstützung zu bieten.

Förderungsmöglichkeiten

Zunächst soll dargestellt werden, welche Förderungsmöglichkeiten dem Staat offen stehen. Sie lassen sich in folgende Kategorien unterteilen:

Finanzielle Förderung

Bereits unter den finanziellen Förderungen gibt es in Deutschland 150 unterschiedliche Möglichkeiten. Dazu zählen sowohl direkte finanzielle Zuschüsse als auch Steuervorteile, Steuerfreibeträge oder die beitragsfreie Mitversicherung von Kindern in der Krankenkasse. Zu den verbreitetsten gehören:^[1]

Kindergeld, davon abhängig:
- Kinderzulage bei der Riester-Rente
- Kinderzulage bei der Eigenheimzulage
- Kinderfreibetrag: wird vom Finanzamt mit dem Kindergeld verrechnet; wirkt sich erst bei Besserverdienenden günstiger aus (z.B. für Ehepaare mit einem Jahreseinkommen ab 75.000€). Dann können sie aber profitieren von:
  - Arbeitnehmersparzulage
  - Wohnungsbauprämie (Einkommensgrenze für Alleinstehende: 25.600€, für Verheiratete: 51.000€)
Elterngeld
Mutterschaftsgeld + evtl. Arbeitgeberzuschuss
Unterhaltszahlungen durch den Vater für alleinerziehende Mütter (kommt der Vater den Zahlungen nicht nach, kann die Mutter einen Unterhaltsvorschuss beim Jugendamt beantragen)
verlängerte BAföG-Förderung bei einer Geburt während der Ausbildung
finanzielle Entlastung bei der Betreuung

Unterstützung in Betreuungsmöglichkeiten

Elternzeit: Freistellung von der Arbeit zur selbstständigen Betreuung des Kindes; kann unter besonderen Umständen auch von den Großeltern beantragt werden ^[2]
Anspruch auf einen Kinderbetreuungsplatz ab dem ersten Lebensjahr ^[3]

Berufliche Unterstützung

Die Berufsausbildung bzw. der Beschäftigungsvertrag müssen durch die folgenden Regelungen bei einer Geburt nicht aufgegeben werden:^[4]

Mutterschutz
Veränderung der Ausbildungszeit (abhängig von Dauer der Elternzeit)

Regelung des Sorgerechts

Möglichkeit der Übernahme der Vormundschaft für das Kind durch die Großeltern, falls die Eltern noch minderjährig sind ^[5]

medizinische Unterstützung während und nach der Schwangerschaft

Die Krankenkassen finanzieren eine medizinische Versorgung während und nach der Schwangerschaft:^[6]

Anspruch auf Hebamme, Geburtsvorbereitungskurs und Wochenbettbetreuung
Anspruch auf Versorgung mit Arznei-, Verbands-, Heil- und Hilfsmitteln
Anspruch auf ambulante oder stationäre Entbindung
Anspruch auf Haushaltshilfe falls die Mutter allein lebt und wegen der Schwangerschaft oder der Entbindung den Haushalt nicht alleine führen kann

Datenquellen für die Modellierung

Einordnung des Themas in die Nachhaltigkeitsziele der Vereinten Nationen

Durch eine Steigerung der Geburtenrate soll dem demographischen Wandel und der Überalterung in Deutschland entgegengewirkt werden. Dies soll Basis für eine Nachhaltigkeit in allen Dimensionen (sozial, ökonomisch und ökologisch) bieten.

Um der drohenden (Alters-)Armut entgegenzuwirken, benötigen wir auch in Zukunft genügend junge Menschen, die die älteren, arbeitsunfähigen Bürger mitversorgen können ( SDG1 No Poverty). Damit verbunden ist auch die ausreichende Essensversorgung (SDG2 Zero Hunger), ebenso wie die medizinische Versorgung und die Förderung eines gut ausgebauten Gesundheitssystems (SDG3 Good Health and Well-being). Gerade durch den immer weiter wachsenden Anteil älterer Menschen in unserer Gesellschaft benötigen wir eine entsprechend zuverlässige Alters- und Krankenpflege und beanspruchen zudem das Gesundheitswesen in höherem Maße, welches durch junge Menschen gestützt wird.

Die ökonomische Nachhaltigkeit würde durch eine Steigerung der Geburtenrate in Deutschland ebenfalls gefördert werden. Zum einen fördert das Wachstum der Bevölkerung wesentlich das Wirtschaftswachstum, zum anderen sind eine widerstandsfähige Infrastruktur sowie eine nachhaltige und innovative Industrialisierung nicht ohne nachwachsende, gut ausgebildete Generationen möglich (SDG9 Industry, Innovation and Infrastructure). Die Chance auf eine solche gute Bildung haben in besonderem Maße junge Menschen in Industrienationen wie Deutschland. Durch eine weiterhin innovative Technikentwicklung werden über die Effizienzstrategie Energie und Ressourcen eingespart, was dementsprechend auch zur ökologischen Nachhaltigkeit beiträgt.

Fachwisssenschaftliche Grundlagen

Modellierungszyklus

Zyklus 1a)

Zielsetzung

Im ersten Zyklus wollen wir erfassen, in welchem Alter Frauen in Deutschland ihr erstes Kind bekommen. Dies wollen wir mit einem Funktionsgraphen darstellen und die Daten mehrerer Jahrgänge zunächst visuell miteinander vergleichen um so eine mögliche Entwicklung zu erkennen.

Vorgehensweise

Die Daten haben wir den Statistiken des Statistischen Bundesamts entnommen. Daraus haben wir die Daten der Erstgeburten der Frauen zwischen 15 und 49 Jahren aus den Jahren 2009, 2012 und 2015 verwendet. Das Statistische Bundesamt stellt diese Daten bereits in Excel-Tabellen zur Verfügung. Diese haben wir in die Tabellenkalkulation von Geogebra übertragen, damit wir mit Hilfe von Schiebereglern die Gaußsche Glockenform mit visuellem Maß an die Liste von Punkten (Alter, Anzahl der Erstgeburten) der verschiedenen Jahre anpassen können. Diese soll dazu dienen, eine Veränderung der vergangenen Jahre zu erfassen.

Fachmathematische Werkzeuge

Tabellenkalkulationsprogramm (Geogebra) || Niveau Sek I
CAS (Geogebra) || Niveau Sek I
Veränderung von Parametern in Funktionsgleichungen || Niveau Sek I

Ergebnisse

Die Abbildungen zeigen die visuelle Anpassung der Gaußschen Glockenform an unsere Punktemenge (Alter der Frau, Erstgeburtenzahl) in den Jahren 2009, 2012 und 2015 mit Hilfe der Schieberegler.

Für die Jahre 2009, 2012 und 2015 wurden so folgende Parameter bestimmt:

Parameter	2009	2012	2015
a	23810	24860	27830
b	28,75	29,1	29,7
s	0,0158	0,0164	0,0176

Die folgende Abbildung enthält die Funktionen mit den zuvor bestimmten Parametern, welche in die Gaußsche Glockenformel eingesetzt wurden .

Anmerkung

Die Punktemenge kann durch die Gaußsche Glockenform sehr gut beschrieben werden. Allerdings liegt vor allem bei den älteren Datenerfassungen (Jahr 2009) eine deutliche Abweichung bei einem Alter von ungefähr 20 Jahren vor. Hier bekommen Frauen vermehrt Kinder, was durch die Glockenform nicht erfasst werden kann. Dies könnte sich auf die unterschiedlichen Bildungswege der Frauen zurückführen lassen, durch die sich vor allen Dingen in jungen Jahren der Lebensstil unterscheidet. So haben Frauen, die nach dem (Real-)Schulabschluss eine Ausbildung beginnen, sehr viel früher ein geregeltes Arbeitsleben mit festem Einkommen und somit eine stabile Basis für die Familienplanung, während Frauen, die erst ihr Abitur machen und dann eine Hochschullaufbahn einschlagen noch wesentlich länger auf staatliche und/ oder elterliche Unterstützung angewiesen sind und auch erst wesentlich später ihre Ausbildung abschließen und in das Berufsleben einsteigen. Da jedoch diese Abweichung in den folgenden Jahren immer weiter abnimmt, was sich dadurch begründen lässt, dass in letzter Zeit immer mehr junge Menschen einen Hochschulabschluss anstreben, und sich so die Punktemengen der jüngeren Jahre stark an die Gaußsche Glockenform annähern, kann diese Abweichung für die Abschätzung künftiger Jahre vernachlässigt werden.

Zyklus 1b)

Zielsetzung

Im zweiten Zyklus sollen die Graphen zur Darstellung der Anzahl der Geburten abhängig vom Alter der Frau verbessert werden, indem sie nicht nur visuell abgeschätzt werden sondern ihre Güte durch einen Fehler beschrieben wird. Durch Minimierung des Fehlers kann die Güte der Graphen dann verbessert werden.

Vorgehensweise

Um die Güte des Graphen zu bestimmen, werden zunächst die y-Werte (bspw. für das Jahr 2009) ( $a(x)$ ) mit den zugehörigen Werten der Eingabedaten ( $v_{a}(x)$ ) verglichen. Dazu berechnet man die Differenz der beiden Werte und quadriert diese, um durchweg positive und (im Gegensatz zum Betrag) gegebenenfalls differenzierbare Ergebnisse zu erhalten. Das Ergebnis ist der Fehler F(x) an der Stelle x.

$F(x)=(a(x)-v_{a}(x))^{2}$

Um den Gesamtfehler $F_{g}$ der Funktion zu erhalten, werden anschließend alle Fehler an den einzelnen Punkten des Definitionsbereichs summiert.

$F_{g}=\sum _{k=15}^{49}F(k)$

Danach werden iterativ die Parameter a, b und s angepasst um $F_{g}$ an sein Minimum zu führen, d.h. sie werden nacheinander über die Schieberegler verändert, sodass der Gesamtfehler minimiert wird. Dies wird so lange durchgeführt, bis er nicht mehr durch Veränderungen verkleinert werden kann.

Fachmathematische Werkzeuge

Tabellenkalkulationsprogramm (Geogebra) || Niveau Sek I
CAS (Geogebra) || Niveau Sek I
Fehlerberechnung und iterative Fehlerminimierung mithilfe von Schiebereglern (Geogebra) || Niveau Sek II

Ergebnisse

Die folgende Abbildung zeigt die Funktionsgraphen der Gaußschen Glockenform mit den minimierten Werten für die Parameter.

Durch die Verbesserung des Graphen bei Betrachtung des Fehlers erhält man für die Jahre 2009-2015 folgende Werte:

Parameter	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
a	23120	23750	23810	24320	24890	26690	27350
b	28,65	28,85	29	29,15	29,35	29,6	29,7
s	0,015	0,0154	0,0162	0,0166	0,017	0,018	0,0182

Zyklus 1c)

Zielsetzung

In diesem Teilzyklus wollen wir die Entwicklung der Geburtenrate in den kommenden Jahren prognostizieren, damit besser eingeschätzt werden kann, welchen Umfang die Fördermaßnahmen einnehmen würden. Außerdem erhält man so Referenzwerte, mit denen der Einfluss der Fördermaßnahmen nach einer Änderung durch Abgleich mit den dann erhobenen Daten erfasst werden kann. Dazu soll eine geeignete Funktionsformel aufgestellt werden.

Vorgehensweise

Zunächst wurden die Mittelwerte der jährlichen Veränderungen der in 1b) berechneten Parameter von 2009-2015 ermittelt. Dabei wurden in einem ersten Durchgang die Werte aller Jahre gleich stark gewichtet, d.h. der Mittelwert $A_{1}$ berechnet sich bspw. für den Parameter a folgendermaßen:

A_{1}={\frac {(a_{b}-a_{a})+(a_{c}-a_{b})+(a_{d}-a_{c})+(a_{e}-a_{d})+(a_{f}-a_{e})+(a_{g}-a_{f})}{6}}

In einem zweiten Durchgang werteten wir die Veränderungen der letzten Jahre stärker in der Annahme, dass diese denen der Zukunft besser entsprechen als die der Jahre, die weiter zurückliegen. Über diese Vorgehensweise berechnet sich der Mittelwert $A_{2}$ folgendermaßen:

A_{2}={\frac {1\cdot (a_{b}-a_{a})+2\cdot (a_{c}-a_{b})+3\cdot (a_{d}-a_{c})+4\cdot (a_{e}-a_{d})+5\cdot (a_{f}-a_{e})+6\cdot (a_{g}-a_{f})}{21}}

Mit den so ermittelten Werten lassen sich schließlich zwei Funktionsgleichungen aufstellen, mit Hilfe derer sich die Verteilung der Erstgeburten in den kommenden Jahren aufstellen lässt. Die berechneten Mittelwerte der Parameter müssen dazu in folgende Funktionsgleichung eingesetzt werden:

p(x)=(27350+A\cdot t)\cdot e^{-((0,0182+S\cdot t)\cdot (x-(29,7+B\cdot t))^{2})}

Die Variable $t$ steht hierbei für das Jahr, für das die Prognose gestellt werden soll minus 2015, da aus diesem Jahr auch die eingesetzten Referenzdaten stammen.

Um festzustellen, mit welchen Parametern die bessere Prognosefunktion aufgestellt wurde, müssen die Fehler der beiden Prognosefuntionen bezüglich der angenäherten Funktionen der vergangenen Jahre aus 1b) bestimmt und verglichen werden. Dazu lassen wir uns erst die Funktionswerte der Prognosefunktion zu den jeweiligen vergangenen Jahren ausgeben. Der quadratische Fehler $f_{1}$ der Prognosefunktion $p_{1}$ für das Jahr 2009 beispielsweise ergibt sich folgendermaßen:

f_{1}=\sum _{k=15}^{49}(p_{1}(k)-a(k))^{2}

Die Fehler der weiteren Jahre berechnen sich analog.

Auch hier bieten sich zwei Möglichkeiten der Gesamtfehlerberechnung:

indem die Fehler aller vergangenen Jahre gleich gewertet werden ( $F_{1}$ ) oder
indem die Fehler der letzten Jahre stärker gewertet werden in der Annahme, dass für Jahre in der näheren Zukunft bessere Prognosen getroffen werden sollen ( $F_{2}$ ).

Der Gesamtfehler $F_{1}$ berechnet sich aus der Summe der Fehler der einzelnen Jahre. Für den Gesamtfehler $F_{2}$ wurden die Fehler der neueren Jahre in gleicher Weise wie die berechneten Parameter aus $p_{2}$ stärker gewichtet.

F_{1}=f_{1}+f_{2}+f_{3}+f_{4}+f_{5}+f_{6}+f_{7}

F_{2}=1\cdot f_{1}+2\cdot f_{2}+3\cdot f_{3}+4\cdot f_{4}+5\cdot f_{5}+6\cdot f_{6}+7\cdot f_{7}

Wichtig ist, dass die so errechneten Fehler nicht untereinander verglichen werden können. Man kann aber die jeweiligen Fehler der beiden Funktionen miteinander vergleichen. Da die Werte so also absolut in der gleichen Vervielfachung verglichen werden, ist eine Division des Ergebnisses von $F_{2}$ nicht notwendig.

Fachmathematische Werkzeuge

Tabellenkalkulationsprogramm CAS (Geogebra) || Niveau Sek I
Aufstellen einer Funktionsschar || Niveau Sek I
Fehlerberechnung || Niveau Sek II

Ergebnisse

	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
a	23120	23750	23810	24320	24890	26690	27350
Veränderung		+630	+60	+510	+570	+1800	+660

A_{1}={\frac {(23750-23120)+(23810-23750)+(24320-23810)+(24890-24320)+(26690-24890)+(27350-26690)}{6}}

$={\frac {630+60+510+570+1800+660}{6}}$ $=705$

A_{2}={\frac {1\cdot (23750-23120)+2\cdot (23810-23750)+3\cdot (24320-23810)+4\cdot (24890-24320)+5\cdot (26690-24890)+6\cdot (27350-26690)}{21}}

$={\frac {630+60+510+570+1800+660}{21}}$ $=834.2857$

	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
b	28,65	28,85	29	29,15	29,35	29,6	29,7
Veränderung		+0,2	+0,15	+0,15	+0,2	+0,25	+0,1

B_{1}={\frac {(28,85-28,65)+(29-28,85)+(29,15-29)+(29,35-29,15)+(29,6-29,35)+(29,7-29,6)}{6}}

$={\frac {0,2+0,15+0,15+0,2+0,25+0,1}{6}}$ $=0,175$

B_{2}={\frac {1\cdot (28,85-28,65)+2\cdot (29-28,85)+3\cdot (29,15-29)+4\cdot (29,35-29,15)+5\cdot (29,6-29,35)+6\cdot (29,7-29,6)}{21}}

$={\frac {0,2+0,15+0,15+0,2+0,25+0,1}{21}}$ $=0,1714$

	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
s	0,015	0,0154	0,0162	0,0166	0,017	0,018	0,0182
Veränderung		+0,0004	+0,0008	+0,0004	+0,0004	+0,001	+0,0002

S_{1}={\frac {(0,0154-0,015)+(0,0162-0,0154)+(0,0166-0,0162)+(0,017-0,0166)+(0,018-0,017)+(0,0182-0,018)}{6}}

$={\frac {0,0004+0,0008+0,0004+0,0004+0,001+0,0002}{6}}$ $=0,00053$

S_{2}={\frac {1\cdot (0,0154-0,015)+2\cdot (0,0162-0,0154)+3\cdot (0,0166-0,0162)+4\cdot (0,017-0,0166)+5\cdot (0,018-0,017)+6\cdot (0,0182-0,018)}{21}}

$={\frac {0,0004+0,0008+0,0004+0,0004+0,0001+0,0002}{21}}$ $=0,00052$

Mit den ermittelten Parametern lassen sich dann zwei Prognosefunktionen aufstellen:

p_{1}(x)=(27350+705\cdot t)\cdot e^{-((0,0182+0,0005\cdot t)\cdot (x-(29,7+0,175\cdot t))^{2})}

p_{2}(x)=(27350+834,2857\cdot t)\cdot e^{-((0,0182+0,0005\cdot t)\cdot (x-(29,7+0,17714\cdot t))^{2})}

Es lassen sich folgende Fehler berechnen:

F_{1}(p_{1})=f_{1}(p_{1})+f_{2}(p_{1})+f_{3}(p_{1})+f_{4}(p_{1})+f_{5}(p_{1})+f_{6}(p_{1})+f_{7}(p_{1})

$=\sum _{k=15}^{49}(p_{1}2009(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{1}2010(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{1}2011(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{1}2012(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{1}2013(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{1}2014(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{1}2015(k)-a(k))^{2}$

$=176370.7512+332629.2821+5104118.6453+7573040.1058+9229816.5945+944964.2049+0$

$=23360939.5841$

F_{2}(p_{1})=1\cdot f_{1}(p_{1})+2\cdot f_{2}(p_{1})+3\cdot f_{3}(p_{1})+4\cdot f_{4}(p_{1})+5\cdot f_{5}(p_{1})+6\cdot f_{6}(p_{1})+7\cdot f_{7}(p_{1})

$=1\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{1}2009(k)-a(k))^{2}+2\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{1}2010(k)-a(k))^{2}+3\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{1}2011(k)-a(k))^{2}+4\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{1}2012(k)-a(k))^{2}+5\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{1}2013(k)-a(k))^{2}+6\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{1}2014(k)-a(k))^{2}+7\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{1}2015(k)-a(k))^{2}$

$=1\cdot 176370.7512+2\cdot 332629.2821+3\cdot 5104118.645+4\cdot 7573040.1058+5\cdot 9229816.5945+6\cdot 944964.2049+7\cdot 0$

$=98265013.8775$

$F_{1}(p_{2})=f_{1}(p_{2})+f_{2}(p_{2})+f_{3}(p_{2})+f_{4}(p_{2})+f_{5}(p_{2})+f_{6}(p_{2})+f_{7}(p_{2})$

$=\sum _{k=15}^{49}(p_{2}2009(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{2}2010(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{2}2011(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{2}2012(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{2}2013(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{2}2014(k)-a(k))^{2}+\sum _{k=15}^{49}(p_{2}2015(k)-a(k))^{2}$

$=7528294.2439+4964347.7626+424124.0857+2485790.0127+5044054.7389+872901.9233+0$

$=21319512.7673$

$F_{2}(p_{2})=1\cdot f_{1}(p_{2})+2\cdot f_{2}(p_{2})+3\cdot f_{3}(p_{2})+4\cdot f_{4}(p_{2})+5\cdot f_{5}(p_{2})+6\cdot f_{6}(p_{2})+7\cdot f_{7}(p_{2})$

$=1\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{2}2009(k)-a(k))^{2}+2\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{2}2010(k)-a(k))^{2}+3\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{2}2011(k)-a(k))^{2}+4\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{2}2012(k)-a(k))^{2}+5\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{2}2013(k)-a(k))^{2}+6\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{2}2014(k)-a(k))^{2}+7\cdot \sum _{k=15}^{49}(p_{2}2015(k)-a(k))^{2}$

$=1\cdot 7528294.2439+2\cdot 4964347.7626+3\cdot 424124.0857+4\cdot 2485790.0127+5\cdot 5044054.7389+6\cdot 872901.9233+7\cdot 0$

$=59130207.3123$

	$F_{1}$	$F_{2}$
$p_{1}$	23360939.5841	98265013.8775
$p_{2}$	21319512.7673	59130207.3123

Es lässt sich erkennen, dass $F_{1}$ der beiden Funktionen nicht sehr weit auseinanderliegen, während $F_{2}$ der beiden eine große Differenz aufweist. So lässt sich schlussfolgern, dass sich $p_{2}$ wesentlich besser für Prognosen für die nächsten Jahre eignet.

Bewertung

Durch die Fehlerberechnung lässt sich die Prognosefunktion optimieren. Trotzdem ist diese Funktion nur eingeschränkt nutzbar, da beispielsweise der Parameter b, der das Alter angibt, in dem die Frauen am häufigsten ihr erstes Kind bekommen, nicht unbegrenzt weiter steigen kann. Er ist bereits durch die biologisch altersbeschränkte Fruchtbarkeit der Frau eingegrenzt. Daher können nur relativ zeitnahe Prognosen die Realität ausreichend abbilden. Für weitere Prognosen müsste in einigen Jahren aus den neu gesammelten Daten ein neuer Mittelwert berechnet werden, um eine weitestgehend zuverlässige Prognose zu erhalten.

Zyklus 2a)

Zielsetzung

Beim Kinder kriegen spielt die finanzielle Ausgangslage eine große Rolle. Daher wollen wir diesen Aspekt in einem neuen Modellierungszyklus genauer untersuchen. Mit Betrachtung der Verteilung des durchschnittlichen Einkommens auf das Alter lässt sich die finanzielle Situation von Frauen verschiedenen Alters veranschaulichen. Zudem lassen sie sich mit der bisherigen finanziellen Förderung in Verbindung setzen und die Auswirkung erhöhter Fördermaßnahmen besser einschätzen und kalkulieren. Mit einer Erhöhung der finanziellen Förderung für einen bestimmten Zeitraum könnten dann die Daten zur Erstgeburtenanzahl abhängig vom Alter erhoben werden und mit den Daten, die die Prognosefunktion aus Zyklus 1c) liefert, verglichen werden um so festzustellen, ob die Erhöhung der Förderung einen Einfluss auf die Geburtenrate hat.

Vorgehensweise

Daten zum monatlichen Einkommen von Frauen in Zusammenhang mit ihren Erstgeburten, oder auch allgemeine Daten zum Einkommen von Frauen mit Kindern konnten wir nicht finden. Auch der Familienstand und die daraus möglicherweise geänderte finanzielle Lage werden zur Vereinfachung des Modells nicht berücksichtigt. Hier soll also das monatliche Durchschnittseinkommen aller Frauen als Näherung dienen.

Da wir nur Daten zum monatlichen Durchschnittseinkommen über große Altersspannen finden konnten, nähern wir mittels Interpolation eine Funktion an, sodass wir Werte für jede Altersstufe erhalten. Dabei dienen die gegebenen Daten als Stützpunkte $(x_{i},y_{i})$ , wobei $y_{i}$ hier der Mittelwert des Intervalls ist (bspw. im Intervall $[15,20)$ ist $y_{i}=17,5$ ).

Aus diesen wird jeweils eine Gewichtungsfunktion der Form $w_{i}(x):=500e^{-({\frac {x-x_{i}}{s}})^{2}}$ in Geogebra gebildet. Dabei wird $s$ als Schieberegler eingerichtet , welcher für die Streuung verantwortlich ist. Aus diesen wird dann die Gesamtgewichtungsfunktion $w_{ges}$ folgendermaßen gebildet:

$w_{ges}:=\sum _{i}{w_{i}(x)}$ .

Um nun die eigentlich gewünschte Funktion zu erhalten wird die Summe aller Gewichtungsfunktionen, multipliziert mit dem jeweiligen y-Wert, gebildet und durch die Summenfunktion der einzelnen Gewichtungsfunktionen geteilt:

$f(x):={\frac {\sum _{i}{(y_{i}\cdot w_{i}(x))}}{w_{ges}(x)}}$ .

Durch Regulation des Schiebereglers $s$ kann festgelegt werden, wie stark Ausreißer gewichtet werden bzw. wie stark die Funktion geglättet werden soll. Da unsere Stützpunkte nur Mittelwerte angeben, müssen sie nicht vom Graphen "getroffen" werden. Hier ist eine geglättete Funktion das Ziel.

Fachmathematische Werkzeuge

Tabellenkalkulationsprogramm (Geogebra) || Niveau Sek I
durch Interpolation mit mehreren Punkten approximierte Funktionsgleichung || Uni Niveau
Veränderung von Parametern in Funktionsgleichungen (Geogebra) || Niveau Sek I

Ergebnisse

Zunächst werden die Daten der folgenden Tabelle gemittelt auf alle Frauen in Deutschland.

	neue Bundesländer				alte Bundesländer
Alter	Anzahl Arbeiter	Bruttomonatsverdienst	Anzahl Angestellte	Bruttomonatsverdienst	Anzahl Arbeiter	Bruttomonatsverdienst	Anzahl Angestellte	Bruttomonatsverdienst
unter 20	8305	1608	15720	1756	799	1128	1013	1496
20 bis unter 25 Jahre	60579	1831	211794	2097	10900	1348	20780	1673
25 bis unter 30 Jahre	67152	1976	307710	2644	9509	1532	26050	2113
30 bis unter 35 Jahre	88376	2027	342137	3042	17019	1579	34596	2302
35 bis unter 40 Jahre	109537	2000	277165	3214	25273	1601	50740	2348
40 bis unter 45 Jahre	118018	1976	232710	3168	28147	1578	49118	2376
45 bis unter 50 Jahre	115404	1987	206266	3165	26549	1581	49555	2407

So erhält man folgende Werte, die im Folgenden als Stützpunkte ( $x_{i},y_{i}$ ) genutzt werden:

Mittelwert Alter ( $x_{i}$ )	Durchschnittliches Bruttomonatseinkommen ( $y_{i}$ )
17,5	1620.26
22,5	1873.91
27.5	2341.19
32.5	2586.09
37.5	2486.19
42.5	2371.29
47.5	2323.34

Durch eine Interpolation wie unter dem Punkt Vorgehensweise beschrieben erhält man folgende Funktion (hier in pink):

Zyklus 2b)

Zielsetzung

Das Kindergeld soll so gestaffelt werden, dass Frauen mit geringerem Einkommen stärker gefördert werden in der Annahme, dass diese auch eine stärkere Unterstützung benötigen. So soll ihnen finanzielle Sicherheit geboten werden, die für viele Frauen ein entscheidendes Kriterium in der Kinderfrage darstellt. Damit die Ausgaben für den Staaat trotzdem haltbar bleiben, sinkt das Kindergeld für Besserverdienende, für die diese Förderung eine weniger starke Auswirkung hat.

(Generell soll das Betreuungsangebot für alle gleichermaßen weiter ausgebaut werden, da dies für alle einen zweiten gleichermaßen wichtigen Aspekt in der Kinderfrage bedeutet. Dieser Aspekt wird in unserem Zyklus außenvor gelassen.)

Vorgehensweise

Die in Zyklus 2a) interpolierte Funktion soll in Beziehung zur Armutsgrenze gesetzt werden. Dazu werden als erstes die Durchschnittseinkommen für jedes Alter aus der Funktion $f$ berechnet.

An der Armutsgrenze sollte das volle Kindergeld ausgezahlt werden. Je weiter das monatliche Einkommen über der Armutsgrenze liegt, desto weniger Kindergeld soll ausgezahlt werden.

Dazu wird zunächst die Differenz von Einkommen und Armutsgrenze gebildet. Um einen Faktor zur Staffelung zu entwickeln, haben wir einen Schieberegler $p$ festgelegt, welcher Werte zwischen 500 und 30.000 annehmen kann. Auch das maximale Kindergeld regulieren wir mit einem Schieberegler $k$ , der den Bereich von 190€ (der aktuell ausgezahlte Betrag für das erste Kind) bis 500€ abbildet. So kann eine Art Grundeinkommen für Familien generiert werden. Durch das Teilen der Differenz durch den Wert $p$ erhalten wir den prozentualen Anteil, der vom maximalen Kindergeldbetrag $k$ abgezogen wird. Das Kindergeld $K$ in € errechnet sich dann folgendermaßen:

K=(1-p)\cdot k

Danach lässt sich das insgesamt verfügbare Geld aus dem Einkommen plus dem errechneten Kindergeld ermitteln. Dieses lassen wir uns in Verbindung mit dem Alter als Liste von Punkten ausgeben. So kann das so ermittelte verfügbare Geld mit dem bisherigen Betrag visuell vergleichen werden.

Ergebnisse

Monatliches Durchschnittseinkommen pro Altersgruppe:

Alter ( $x$ )	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
Durchschnittliches Monatsbruttoeinkommen ( $f(x)$ )	1627.99	1635,29	1648,79	1672,09	1708,16	1756,26	1811,51	1870,55	1936,78	2016,18	2107,42	2198,55	2277,59	2343,16	2401,22	2455,01	2500,54	2531,44

Alter ( $x$ )	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
Durchschnittliches Monatsbruttoeinkommen ( $f(x)$ )	2545,13	2543,38	2530,66	2512,69	2493,63	2474,11	2452,76	2429,53	2407,05	2388,12	2373,10	2360,57	2349,46	2340,10	2333,18	2328,75	2326,19

In der folgenden Abbildung sieht man unsere visuell angepasste Staffelung des Kindergeldes in Form einer schwarzen Punkteliste. Im Vergleich dazu gibt der lila Graph $k_{1}$ das aktuelle gehaltsunabhängige Kindergeld addiert zum Durchschnittseinkommen an. Der Graph $a$ markiert die Armutsgrenze.

Fällt der Schieberegler $p$ unter einen bestimmten Wert, kann es passieren, dass das Gesamtgehalt für einige Besserverdienende geringer als das Einkommen ist. Das würde bedeuten, dass Kindergeld von einigen Eltern an den Staat bezahlt werden müsste. Diese Fälle sind natürlich nicht geeignet für eine reale Umsetzung.

Validierung

Zur Regelung des Kindergelds müssen natürlich auch die staatlichen Kosten, die daraus entstehen, in den Blick genommen werden. Dazu sollten in einem weiteren Zyklus aus genauen Daten darüber, wie viele Mütter bei Geburt ihres ersten Kindes welches Einkommen haben, und der variablen Staffelung des Kindergeldes die daraus entstehenden Kosten für den Staat berechnet werden.

Im Abgleich unseres Modells mit der Realität muss man feststellen, dass erst nach Ausführung einer Veränderung der Fördermöglichkeiten eine tatsächliche Aussage darüber getroffen werden kann, inwiefern diese Einfluss auf die Geburtenrate nimmt. Dazu könnte man die neuen Daten zur Verteilung der Erstgeburten mit denen durch die Prognosefunktion aus Zyklus 1c) ermittelten Daten vergleichen und schließen, ob die Anzahl der Erstgeburten höher ausfällt als erwartet.

Die Erprobung erfordert jedoch einen hohen finanziellen Einsatz über mehrere Jahre ohne zu wissen, ob sie wirklich einen Erfolg bringt. Falls dies finanziell so nicht vom Staat getragen werden kann, könnte daher in einem weiteren Modellierungszyklus versucht werden, über Umfragen festzustellen, ob die Entscheidung von Frauen, Kinder zu bekommen, durch eine ausgeweitete Förderung begünstigt werden würde. So könnte der Staat besser den finanziellen Einsatz gegen den Gewinn abwägen.

Literatur

[1] ttps://www.welt.de/finanzen/article5962931/So-umsorgt-der-deutsche-Staat-die-Familie.html

[2] ttp://www.familien-wegweiser.de/wegweiser/stichwortverzeichnis,did=190364.html

[3] ttps://www.bmfsfj.de/bmfsfj/themen/familie/chancen-und-teilhabe-fuer-familien/alleinerziehende/alleinerziehende-foerdern-und-unterstuetzen/73552

[4] ttp://www.familien-wegweiser.de/wegweiser/stichwortverzeichnis,did=198330.html

[5] ttp://www.familien-wegweiser.de/wegweiser/stichwortverzeichnis,did=198330.html

[6] ttps://www.caritas.de/hilfeundberatung/ratgeber/familie/schwangerschaft/finanzielle-hilfen-vor-und-nach-der-gebu

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