Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Reelle Zahlen

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Inhaltsverzeichnis

1 Einführung in die reellen Zahlen
2 Rechenoperationen mit reellen Zahlen
3 Betrag von reellen Zahlen
4 Invervalle mit reellen Zahlen
5 Mengen von reellen Zahlen

[Bearbeiten] Einführung in die reellen Zahlen

Die Zahlengerade ist kontinuierlich. Auf dieser finden sich die natürlichen Zahlen ${}_{x\in\mathbb N}$ , sowie die rationalen Zahlen ${}_{x \in\mathbb Q}$ mit ${}_{\mathbb N \subset \mathbb Q}$ . Bereits in der Antike wurde anhand des Lehrsatzes des Pythagoras festgestellt, dass es Zahlen gibt, welche sich nicht in ${}_{\mathbb Q}$ befinden. Die Definition dieser Zahlen stellte bis zum 19. Jahrhundert ein ungelöstes Problem dar.

Satz:

$x = \sqrt{2} \Leftrightarrow x^2 = 2 \rightarrow x \notin \mathbb Q$

Beweis:

Der indirekte Beweis folgt aus der Annahme einer Zahl $c$ mit

$\forall p,q \in \mathbb N \land \left( \operatorname{ggT}(p,q)=1 \right) :\ \exist c \in \mathbb Q:\ c = \frac{p}{q}$ .

Daraus lassen sich die folgenden Schlüsse ziehen:

$\left( c^2 = \frac{p^2}{q^2} = 2 \right)$

$\Rightarrow p^2 = 2\,q^2$

$\Rightarrow r\in\mathbb N:\ p = 2\,r$

$\Rightarrow 2^2\,r^2 = 2\,q^2$

$\Rightarrow 2\,r^2 = q^2$

$\Rightarrow \operatorname{ggT}(p,q) > 1$ .

Die ursprüngliche Annahme der Teilerfremdheit ${}_{\operatorname{ggT}(p,q)=1}$ wurde dadurch widerlegt, weshalb ${}_{c \notin \mathbb Q}$ .

Definition:

Zahlen die nicht rational sind

$x \notin \mathbb Q$

werden als irrationale Zahlen bezeichnet.

Definition:

Die Menge der reellen Zahlen

$x \in \mathbb R$

ist die Vereinigungsmenge aller rationalen und aller irrationalen Zahlen. Die reellen Zahlen liegen beliebig dicht beisammen und repräsentieren daher alle Punkte auf der Zahlengeraden.

Satz:

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar mächtig.

Beweis:

Zweites Cantor`sches Diagonalverfahren

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