Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Zahlenfolgen

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[Bearbeiten] Grenzwerte

Definition:

Eine Folge reeller Zahlen ${}_{a\in \mathbb R}$ ist eine Abbildung ${}_{a:\ \mathbb N \rightarrow \mathbb R}$ . Anstatt von

$n\in\mathbb N:\ a(n) = a(1), a(2), a(3), \ldots$

schreibt man die Folge meist mit Indizes als

$n\in\mathbb N:\ \left\{ a_n \right\} = a_1,a_2,a_3,\ldots$ .

Die Zahlen ${}_{a_1,a_2,a_3,\ldots}$ werden als Glieder der Folge bezeichnet. Der Ausdruck ${}_{a_n}$ wird als allgemeines Glied bezeichnet.

Definition:

Eine Folge komplexer Zahlen wird analog als eine Abbildung ${}_{a:\ \mathbb N \rightarrow\mathbb C}$ definiert.

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{ a_n \right\}}$ wird als konvergent mit dem Granzwert $a$ bezeichnet, wenn ${}_{\forall\epsilon > 0}$ eine Zahl $N (ε)$ existiert, so dass ${}_{\forall n \in\mathbb N}$ mit ${}_{n\ge N(\epsilon)}$ der Zusammenhang ${}_{\left| a_n - a \right| < \epsilon}$ gilt.

In diesem Fall schreibt man

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty} a_n = a$

Definition:

Eine Folge, welche nicht konvergent ist, wird als divergent bezeichnet.

Definition:

Eine Folge ${}_{ \left\{ a_n \right\} }$ wird als Nullfolge bezeichnet, wenn

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = 0$

gilt.

Satz:

Werden endlich viele Glieder einer Folge geändert, so wird die Konvergenz und der Grenzwert beibehalten.

Satz:

Für zwei Folgen ${}_{ \left\{ a_n \right\} }$ und ${}_{ \left\{ b_n \right\} }$ gelten die folgenden Rechenoperationen:

Summenfolge

$\left\{ a_n + b_n \right\}$
Differenzfolge

$\left\{ a_n - b_n \right\}$
Produktfolge

$\left\{ a_n \, b_n \right\}$
Quotientenfolge

$\forall b_n \ne 0:\ \left\{ \frac{a_n}{b_n} \right\}$

Satz:

Sind zwei Folgen ${}_{\left\{a_n\right\}}$ und ${}_{\left\{b_n\right\}}$ mit ${}_{\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = a}$ und ${}_{\lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n = b}$ konvergent, so sind auch deren Summe, Differenz und Produkt konvergent. Dies gilt auch für den Quotient, wobei allerdings der Nenner nicht Null werden darf. Es gilt daher:

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left( a_n \pm b_n \right) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n \pm \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n = a \pm b$
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left( a_n \, b_n \right) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n \, \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n = a \, b$
$\forall n\in\mathbb N:\ \left( b_n \ne 0 \right) \land \left( \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n \ne 0 \right):\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n} = \frac{a}{b}$

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{ a_n \right\}}$ wird als Cauchyfolge bezeichnet, wenn der Zusammenhang

$\forall \epsilon > 0:\ \exist i = N\left(\epsilon\right):\ \forall m,n \ge i :\ \left| a_m - a_n \right| < \epsilon$

gilt.

Eine Folge ist also dann eine Cauchyfolge, wenn für größer werdende Indizes ( ${}_{i = N\left(\epsilon\right)}$ und ${}_{m,n \ge i}$ ) die Differenz der Werte der Glieder dieser Folge ${}_{\left| a_m - a_n \right|}$ beliebig kleiner ( ${}_{\left| a_m - a_n \right| < \epsilon}$ ), jedoch nicht Null ( $ε > 0$ ), wird.

Beispiel:

Die Folge ${}_{a_n = \frac{1}{n}}$ ist eine Cauchyfolge.

Beweis:

Es muss der Zusammenhang

$\forall \epsilon > 0:\ \exist i = N\left(\epsilon\right):\ \forall m,n \ge i :\ \left| a_m - a_n \right| = \left| \frac{1}{m} - frac{1}{n} \right| < \epsilon$

erfüllt werden.

Es wird angenommen, dass ${}_{a_m < a_n}$ gilt. Es gilt daher der Zusammenhang

$\left| a_m - a_n \right| \le \left| \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right| \le \frac{2}{m}$ .

Deshalb ist

$\left| a_m - a_n \right| < \epsilon$

wenn

$m > \frac{2}{\epsilon}$ .

Daraus folgt

$N(\epsilon) = \frac{2}{\epsilon}$ .

Satz:

Das Konvergenzkriterium von Cauchy besagt, dass für eine Folge ${}_{\left\{ a_n \right\}}$ mit ${}_{\forall a_n \in \mathbb R}$ genau dann konvergent ist, wenn die Folge ${}_{\left\{ a_n \right\}}$ eine Cauchyfolge ist.

Beweis:

Aus

folgt, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist.

Beweis:

TODO: Beweis mit Umkehrung (Satz von Bolzano-Weierstraß)

Satz:

Es folgt aus der Vollständigkeit in ${}_{\mathbb R}$ , dass jede Cauchyfolge in ${}_{\mathbb R}$ mit einem Grenzwert in ${}_{\mathbb R}$ konvergiert.

[Bearbeiten] Monotone Folgen

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{ a_n \right\}}$ wird als monoton wachsend bezeichnet, wenn

$\forall n\in\mathbb N:\ a_n \le a_{n+1}$

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{ a_n \right\}}$ wird als streng monoton wachsend bezeichnet, wenn

$\forall n\in\mathbb N:\ a_n < a_{n+1}$

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{ a_n \right\}}$ wird als monoton fallend bezeichnet, wenn

$\forall n\in\mathbb N:\ a_n \ge a_{n+1}$

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{ a_n \right\}}$ wird als streng monoton fallend bezeichnet, wenn

$\forall n\in\mathbb N:\ a_n > a_{n+1}$

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{ a_n \right\}}$ wird als nach oben beschränkt bezeichnet, wenn es eine Konstante $C$ gibt mit welcher

$\forall n\in\mathbb N:\ a_n \le C$

gilt.

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{ a_n \right\}}$ wird als nach unten beschränkt bezeichnet, wenn es eine Konstante $C$ gibt mit welcher

$\forall n\in\mathbb N:\ a_n \ge C$

gilt.

Satz:

Der Hauptsatz über monotone Folgen besagt, dass für

eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge
1. konvergent ist
2. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = \sup \left\{ a_n \left| n \in\mathbb N \right. \right\}$ gilt
eine monoton fallende und nach ungen beschränkte Folge
1. konvergent ist
2. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = \inf \left\{ a_n \left| n \in\mathbb N \right. \right\}$ gilt.

Merke: $\forall q \in\left] -1,1 \right[:\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} q^n = 0$

[Bearbeiten] Einschließungsprinzip

Satz:

der Satz über das Einschließungsprinzip besagt, dass wenn die Folgen ${}_{\{ a_n \}}$ und ${}_{\{ b_n \}}$ gegen den selben Grenzwert $a$ konvergieren, auch die Folge ${}_{\{ c_n \}}$ mit

$\forall n\in\mathbb N:\ a_n \le c_n \le b_n$

konvergent gegen $a$ ist.

Merke: $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n\,]{n} = 1$
Merke: $\forall q \in \mathbb R^{+}:\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n\,]{q} = 1$