Äquivalenz (Matrix)

Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der $m\times n$ -Matrizen.

Definition: Äquivalenz von Matrizen

Zwei Matrizen $A$ und $B$ sind per Definition äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung

f\colon \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m}

gibt und es Basen

B_{1},B_{2}

von

\mathbb {K} ^{n}

und

C_{1},C_{2}

von

\mathbb {K} ^{m}

gibt, so dass

A=M_{B_{1}}^{C_{1}}(f)

und

B=M_{B_{2}}^{C_{2}}(f)

gilt,

d. h. $A$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_{1}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{1}$ von $\mathbb {K} ^{m}$ , und $B$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_{2}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{2}$ von $\mathbb {K} ^{m}$ .

Äquivalente Aussage

Zur Aussage „die $m\times n$ -Matrizen $A$ und $B$ sind äquivalent über dem Körper $\mathbb {K}$ “ ist folgende Aussage äquivalent:

Es gibt eine invertierbare $m\times m$ -Matrix $S\in GL(m,\mathbb {K} )$ und eine invertierbare $n\times n$ -Matrix $T\in GL(m,\mathbb {K} )$ über $\mathbb {K}$ , so dass $B=S\cdot A\cdot T$ gilt.