Trigonalisierbarkeit

Allgemeines

Die Trigonalisierung ist ein Begriff aus der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie bezeichnet eine Ähnlichkeitsabbildung einer quadratischen Matrix auf eine obere Dreiecksmatrix. Dies ist nicht für jede quadratische Matrix möglich, und man bezeichnet deshalb Matrizen, die zu einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich sind, als trigonalisierbare Matrizen. Entsprechend bezeichnet man einen Vektorraum-Endomorphismus als trigonalisierbaren Endomorphismus, wenn es unter seinen Darstellungsmatrizen eine obere Dreiecksmatrix gibt.

Bezug zu Endomorphismen

Zwischen trigonalisierbaren Matrizen und trigonalisierbaren Endomorphismen gibt es einen Zusammenhang: Die trigonalisierbaren Matrizen sind die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

Kriterien für die Trigonalisierbarkeit

Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:

• die Matrix $A$ ist über dem Körper $\mathbb {K}$ trigonalisierbar.
• die Matrix $A$ ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Das heißt, es existiert eine obere Dreiecksmatrix $D$ und eine invertierbare Matrix $P$ mit $D=P^{-1}AP$.
• das charakteristische Polynom der Matrix $A$ zerfällt über dem Körper $\mathbb {K}$ in Linearfaktoren.
• das Minimalpolynom der Matrix $A$ zerfällt über dem Körper $\mathbb {K}$ in Linearfaktoren.
• die Matrix $A$ besitzt über dem Körper $\mathbb {K}$ eine Jordan-Normalform.

Trigonalisierung - Körper der komplexen Zahlen

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über $\mathbb {C}$ trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Berechnung der oberen Dreiecksmatrix

Ähnlichkeit von Matrizen

Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix $D$ zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix $T$, mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:

$D=T^{-1}AT$

Des Weiteren haben $A$ und $D$ die selben Eigenwerte.

Charakteristisches Polynom

Da das charakteristische Polynom von $A$ über $\mathbb {C}$ in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert $\lambda _{1}$ und einen zugehörigen Eigenvektor $v_{1}$.

Eigenvektor zur Basis ergänzen

Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ des $K^{n}$ ergänzt. Die Matrix $T_{1}$ sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich $T_{1}^{-1}AT_{1}$ berechnen und die Form

$T_{1}^{-1}AT_{1}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&d_{1,2}&\cdots &d_{1,n}\\0&&&\\\vdots &&A_{1}&\\0&&&\end{pmatrix}}$

Fortsetzung für Untermatrizen

Für das charakteristische Polynom der $(n-1)\times (n-1)$-Matrix $A_{1}$ gilt $p_{A}(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})p_{A_{1}}$. Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und $A_{1}$ ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man $A_{n-1}=d_{n,n}$ berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix $D$. Die Matrix $P$ ergibt sich als Produkt $T_{1}T_{2}\dots T_{n-1}$ der Basiswechselmatrizen.

Bezug - Banachalgebren

Der Matrizenraum ist als Vektorraum und einer Norm nicht nur ein vollständiger normierter Vektorraum, sondern mit der Matrixmultiplikation auch eine Banachalgebra. Das Konzept der Eigenwerte wird mit der Definition eines Spektrum von Elementen aus dem Grundraum auf Banachalgebren verallgemeinert.

Siehe auch

• Schur-Zerlegung ist ein Beispiel für ein Trigonalisierungsverfahren über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$
• Diagonalisierung
• Ähnlichkeit (Matrix)
• Banachalgebra - vollständig normierte Räume mit einer Multiplation auf dem Vektorraum.
• Spektrum eine Elementes

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 14. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.

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