Äquivalenzrelation/Abbildung/Gleichwertig/Quadrat und Betrag/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir sagen, dass zwei Zahlen  $x,y\in K$  „bis (eventuell) auf das Vorzeichen“ übereinstimmen, wenn  $x=y$  oder  $x=-y$  ist. Dafür schreiben wir kurz

$x=\pm y.$

Dies ist eine Äquivalenzrelation. Dabei ist die Reflexivität unmittelbar klar, die Symmetrie erhält man, indem man die Gleichung  $x=-y$  mit $-1$ multipliziert und  $(-1)(-1)=1$  ausnutzt. Ähnlich wird auch die Transitivität begründet. Diese Äquivalenzrelation lässt sich auch einfach im Sinne von Fakt beschreiben. Es ist nämlich  $x=\pm y$  genau dann, wenn  $x^2=y^2$  gilt. Dabei ist die Hinrichtung klar. Für die Rückrichtung sei also  $x^2=y^2$.  Bei  $x=0$  ist auch  $y=0$  und die Aussage gilt, seien also die Zahlen von $0$ verschieden. Durch Division durch $y^2$ erhält man

${\left(\frac{x}{y}\right)}^2=1.$

Wegen  $u^2-1=(u-1)(u+1)$  und Fakt sind aber $1$ und $-1$ die einzigen Lösungen der Gleichung

$u^2=1$

in einem Körper, und somit ist  $\frac{x}{y}=\pm 1$  und  $x=\pm y$.  In einem angeordneten Körper gilt darüber hinaus auch  $x=\pm y$  genau dann, wenn  $|x|=|y|$  gilt. Es gibt also im Allgemeinen mehrere Funktionen, mit denen man eine Äquivalenzrelation erfassen kann.