Äquivalenzrelation/Abbildung/Gleichwertig/Quadrat und Betrag/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir sagen, dass zwei Zahlen  ${}x,y\in K$  „bis (eventuell) auf das Vorzeichen“ übereinstimmen, wenn  ${}x=y$  oder  ${}x=-y$  ist. Dafür schreiben wir kurz

${}x=\pm y\,.$

Dies ist eine Äquivalenzrelation. Dabei ist die Reflexivität unmittelbar klar, die Symmetrie erhält man, indem man die Gleichung  ${}x=-y$  mit ${}-1$ multipliziert und  ${}(-1)(-1)=1$  ausnutzt. Ähnlich wird auch die Transitivität begründet. Diese Äquivalenzrelation lässt sich auch einfach im Sinne von Fakt beschreiben. Es ist nämlich  ${}x=\pm y$  genau dann, wenn  ${}x^{2}=y^{2}$  gilt. Dabei ist die Hinrichtung klar. Für die Rückrichtung sei also  ${}x^{2}=y^{2}$.  Bei  ${}x=0$  ist auch  ${}y=0$  und die Aussage gilt, seien also die Zahlen von ${}0$ verschieden. Durch Division durch ${}y^{2}$ erhält man

${}{\left({\frac {x}{y}}\right)}^{2}=1\,.$

Wegen  ${}u^{2}-1=(u-1)(u+1)$  und Fakt sind aber ${}1$ und ${}-1$ die einzigen Lösungen der Gleichung

${}u^{2}=1\,$

in einem Körper, und somit ist  ${}{\frac {x}{y}}=\pm 1$  und  ${}x=\pm y$.  In einem angeordneten Körper gilt darüber hinaus auch  ${}x=\pm y$  genau dann, wenn  ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$  gilt. Es gibt also im Allgemeinen mehrere Funktionen, mit denen man eine Äquivalenzrelation erfassen kann.