Äquivalenzrelation durch Abbildung/Archimedisch angeordnet/Vorkommazahl und Nachkommazahl/Beispiel

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Wir betrachten die Gaußklammer auf ${}K$, also die Abbildung

$\lfloor \,\,\rfloor \colon K\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,t\longmapsto \lfloor t\rfloor .$

Eine Zahl ${}t$ wird also auf die größte ganze Zahl abgebildet, die kleiner oder gleich ${}t$ ist (die „Vorkommazahl“, falls die Zahl positiv ist). Dabei wird das gesamte ganzzahlige einseitig offene Intervall

${}[n,n+1)={\left\{x\in K\mid n\leq x<n+1\right\}}\,$

auf ${}n\in \mathbb {Z}$ abgebildet. Bezüglich dieser Abbildung sind also zwei Zahlen genau dann äquivalent, wenn sie im gleichen ganzzahligen Intervall liegen.

Statt dem ganzzahligen Anteil kann man auch den (nichtnegativen) Bruchanteil (bei positiven Zahlen die „Nachkommazahl“) betrachten. Das ist die Abbildung

$K\longrightarrow [0,1),\,t\longmapsto t-\lfloor t\rfloor .$

Unter der durch diese Abbildung definierten Äquivalenzrelation sind zwei Zahlen genau dann gleich, wenn sie den gleichen Bruchanteil besitzen, und das ist genau dann der Fall, wenn ihre Differenz eine ganze Zahl ist.

Wenn man rationale Zahlen als gemischte Brüche schreibt, so geht es um die Frage, ob der ganzzahlige Anteil oder ob der Bruchanteil übereinstimmt.