Überlagerung/Decktransformation/Bestimmtheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $\phi$ die Decktransformation. Wir betrachten die Menge $\{y\in Y\mid \phi (y)=y\}$, die nach Voraussetzung nicht leer ist. Wir zeigen, dass sie sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Wegen $Y$ hausdorffsch ist die Fixpunktmenge nach Aufgabe abgeschlossen. Es sei  $y\in Y$  ein Fixpunkt mit

$p(y)=x.$

Es sei  $x\in U$  eine offene Umgebung, worüber die Überlagerung trivialisiert. Wegen der Voraussetzung über den lokalen Wegzusammenhang können wir annehmen, dass $U$ wegzusammenhängend ist. Es sei  $y\in V$  die entsprechende offene Umgebung von $y$. Dann ist $V$ und somit auch $\phi (V)$ zusammenhängend und wegen  $\phi (y)=y\in V$  ist bereits  $\phi (V)\subseteq V$.  Somit gilt für  $y^{\prime }\in V$  die Bedingung  $\phi (y^{\prime })\in V\cap p^{-1}(p(y^{\prime }))=\{y^{\prime }\}$,  also ist $\phi$ auf $V$ die Identität. Die Fixpunktmenge ist also auch offen. Aufgrund des Zusammenhangs von $Y$ ist sie dann gleich ganz $Y$.

Zur bewiesenen Aussage