Überlagerung/Decktransformation/Bestimmtheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\varphi$ die Decktransformation. Wir betrachten die Menge ${}{\left\{y\in Y\mid \varphi (y)=y\right\}}$, die nach Voraussetzung nicht leer ist. Wir zeigen, dass sie sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Wegen ${}Y$ hausdorffsch ist die Fixpunktmenge nach Aufgabe abgeschlossen. Es sei ${}y\in Y$ ein Fixpunkt mit

${}p(y)=x\,.$

Es sei ${}x\in U$ eine offene Umgebung, worüber die Überlagerung trivialisiert. Wegen der Voraussetzung über den lokalen Wegzusammenhang können wir annehmen, dass ${}U$ wegzusammenhängend ist. Es sei ${}y\in V$ die entsprechende offene Umgebung von ${}y$. Dann ist ${}V$ und somit auch ${}\varphi (V)$ zusammenhängend und wegen ${}\varphi (y)=y\in V$ ist bereits ${}\varphi (V)\subseteq V$. Somit gilt für ${}y'\in V$ die Bedingung ${}\varphi (y')\in V\cap p^{-1}(p(y'))=\{y'\}$, also ist ${}\varphi$ auf ${}V$ die Identität. Die Fixpunktmenge ist also auch offen. Aufgrund des Zusammenhangs von ${}Y$ ist sie dann gleich ganz ${}Y$.

Zur bewiesenen Aussage