A-Singularität/XY-Z^n/Singulärer Ort/Beispiel

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Die binomiale Gleichung definiert eine algebraische Fläche

über jedem Körper . Die Jacobi-Matrix ist

Bei ist dies überall glatt, bei liegt im Nullpunkt eine isolierte Singularität vor. Man spricht von den -Singularitäten (die Indizierung ist so gewählt, dass schon eine Singularität ist). Das Polynom ist irreduzibel, für prim ergibt sich dies aus Aufgabe. Der Quotientenkörper von ist der rationale Funktionenkörper , da man

ausdrücken kann.