A-Singularität/XY-Z^n/Singulärer Ort/Beispiel

Die binomiale Gleichung ${}XY=Z^{n}$ definiert eine algebraische Fläche

${}V(XY-Z^{n})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,$

über jedem Körper ${}K$. Die Jacobi-Matrix ist

$\left(Y,\,X,\,nZ^{n-1}\right).$

Bei ${}n=1$ ist dies überall glatt, bei ${}n\geq 2$ liegt im Nullpunkt eine isolierte Singularität vor. Man spricht von den ${}A_{n-1}$-Singularitäten (die Indizierung ist so gewählt, dass ${}A_{1}$ schon eine Singularität ist). Das Polynom ${}Z^{n}-XY\in K[X,Y,Z]$ ist irreduzibel, für ${}n$ prim ergibt sich dies aus Aufgabe. Der Quotientenkörper von ${}K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{n}\right)}$ ist der rationale Funktionenkörper ${}K(X,Z)$, da man

${}Y=Z^{n}/X\,$

ausdrücken kann.