A1-Singularität/R und C/Topologische Eigenschaften/Beispiel

Der Nullpunkt von ${}V(Z^{2}-XY)$ ist eine isolierte Singularität dieser Fläche über jedem Körper. Hat dies bei ${}K=\mathbb {R}$ oder ${}K={\mathbb {C} }$ eine topologische Auswirkung? Im Komplexen kann man

${}XY=(U+{\mathrm {i} }V)(U-{\mathrm {i} }V)=U^{2}+V^{2}\,$

schreiben und sieht, dass man genauso gut mit der Gleichung

${}Z^{2}=U^{2}+V^{2}\,$

für den Standardkegel arbeiten kann. Eine topologische Besonderheit des reellen Standardkegels ist, dass, wenn man die Singularität, also die Kegelspitze, herausnimmt, der Kegel in zwei Zusammenhangskomponenten zerfällt, die jeweils homöomorph zur punktierten Ebene sind und deren Fundamentalgruppe ${}\mathbb {Z}$ ist. Eine glatte reelle Ebene bleibt dagegen, wenn man einen Punkt herausnimmt, zusammenhängend, und die Fundamentalgruppe ist ${}\mathbb {Z}$. Es ist ein typisches Phänomen, dass topologische Eigenschaften hervortreten, wenn man die Singularität herausnimmt und Eigenschaften des Komplements betrachtet. In Aufgabe werden wir sehen, dass auch das reelle Nullstellengebilde ${}V(Z^{2}-XY)$ in zwei Zusammenhangskomponenten zerfällt, wenn man die Singularität herausnimmt.

Die komplexe Ebene ist reell betrachtet ein vierdimensionaler Raum. Wenn man einen Punkt herausnimmt, bleibt das Komplement zusammenhängend und sogar einfach zusammenhängend, d.h. die Fundamentalgruppe ist trivial. Wir werden als Korollar zu Fakt sehen, dass das komplexe Nullstellengebilde ${}V(Z^{2}-XY)$ hingegen die Eigenschaft hat, dass das Komplement zur Singularität zwar auch zusammenhängend ist, seine Fundamentalgruppe aber gleich ${}\mathbb {Z} /(2)$ ist.