Es sei x ∈ L {\displaystyle {}x\in L} und ϵ > 0 {\displaystyle {}\epsilon >0} vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein n 0 {\displaystyle {}n_{0}} mit d ( f n ( y ) , f ( y ) ) ≤ ϵ / 3 {\displaystyle {}d{\left(f_{n}(y),f(y)\right)}\leq \epsilon /3} für alle n ≥ n 0 {\displaystyle {}n\geq n_{0}} und alle y ∈ L {\displaystyle {}y\in L} . Wegen der Stetigkeit von f n 0 {\displaystyle {}f_{n_{0}}} in x {\displaystyle {}x} gibt es ein δ > 0 {\displaystyle {}\delta >0} mit d ( f n 0 ( x ) , f n 0 ( y ) ) ≤ ϵ / 3 {\displaystyle {}d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}\leq \epsilon /3} für alle y ∈ L {\displaystyle {}y\in L} mit d ( x , y ) ≤ δ {\displaystyle {}d{\left(x,y\right)}\leq \delta } . Für diese y {\displaystyle {}y} gilt somit
und
vorgegeben. Aufgrund der
gleichmäßigen Konvergenz
gibt es ein 
mit
für alle
und alle
.
Wegen der
Stetigkeit
von 
in 
gibt es ein
mit
für alle
mit
.
Für diese 
gilt somit
