Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Ist Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

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Beweis

Die differenzierbare Struktur auf ist durch die eingeschränkten Karten

gegeben. Dass sich die Diffeomorphismuseigenschaft der Kartenwechsel auf die Einschränkungen überträgt ergibt sich wie im Beweis zu Fakt.

Dass eine differenzierbare Abbildung vorliegt ergibt sich daraus, dass zu einem offenen Kartengebiet ein kommutatives Diagramm

gehört, wobei die vertikalen Pfeile offene und die horizontalen Pfeile abgeschlossene Einbettungen repräsentieren. Der obere Pfeil korrespondiert über die Kartenwechsel zu

also zur abgeschlossenen Einbettung eines Koordinatenunterraums, die natürlich differenzierbar ist.

Zur bewiesenen Aussage