Beweis
Wir nehmen an, dass nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein
mit der Eigenschaft, dass es für alle
ein Punktepaar
mit
und
gibt.
Insbesondere gibt es somit für jedes
eine Punktepaar
mit
und
.
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß
besitzt die Folge eine in
konvergente
Teilfolge,
deren Grenzwert, nennen wir ihn , wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge gegen konvergiert. Die Folge konvergiert nach
Aufgabe
ebenfalls gegen . Wegen der Stetigkeit konvergieren dann
nach dem Folgenkriterium
auch die beiden Bildfolgen
und
gegen . Es sei nun
.
Dann ist für hinreichend groß sowohl
als auch . Dies ergibt
mit der Dreiecksungleichung
einen Widerspruch zu
.