Ableitung der Umkehrfunktion/Quadratwurzel/Beispiel

Die Funktion

$f^{-1}:{ℝ}_{+}⟶{ℝ}_{+},x⟼\sqrt{x},$

ist die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit  $f(x)=x^2$  (eingeschränkt auf ${ℝ}_{+}$). Deren Ableitung in einem Punkt $a$ ist  $f^{\prime }(a)=2a$.  Nach Fakt gilt daher für  $b\in {ℝ}_{+}$  die Beziehung

$\left(f^{-1}\right)(b)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}=\frac{1}{2\sqrt{b}}=\frac{1}{2}{b}^{-\frac{1}{2}}.$

Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.