Ableitung der Umkehrfunktion/Quadratwurzel und dritte Wurzel/Beispiel

Die Funktion

$f^{-1}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$

ist die Umkehrfunktion der Funktion ${}f$ mit  ${}f(x)=x^{2}$  (eingeschränkt auf ${}\mathbb {R} _{+}$). Deren Ableitung in einem Punkt ${}a$ ist  ${}f'(a)=2a$.  Nach Fakt gilt daher für  ${}b\in \mathbb {R} _{+}$  die Beziehung

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{2{\sqrt {b}}}}={\frac {1}{2}}b^{-{\frac {1}{2}}}\,.$

Im Nullpunkt ist ${}f^{-1}$ nicht differenzierbar.

Die Funktion

$f^{-1}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{\frac {1}{3}},$

ist die Umkehrfunktion der Funktion ${}f$ mit  ${}f(x)=x^{3}$  Deren Ableitung in ${}a$ ist  ${}f'(a)=3a^{2}$,  dies ist für  ${}a\neq 0$  von ${}0$ verschieden. Nach Fakt ist für  ${}b\neq 0$  somit

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{3{\left(b^{\frac {1}{3}}\right)}^{2}}}={\frac {1}{3}}b^{-{\frac {2}{3}}}\,.$

Im Nullpunkt ist ${}f^{-1}$ nicht differenzierbar.