Achter Kreisteilungskörper/Zerfällungskörper/Wirkungsweise auf Nullstellen/Beispiel

Wir betrachten den Zerfällungskörper ${}L$ zum Polynom ${}X^{8}-1$, also den achten Kreisteilungskörper. Er wird von einer primitiven achten Einheitswurzel ${}\zeta$ erzeugt und besitzt nach Beispiel die Darstellungen

${}L=\mathbb {Q} [\zeta ]/{\left(\zeta ^{4}+1\right)}=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\mathrm {i} }]\,.$

Die Nullstellen von ${}X^{8}-1$ sind die acht verschiedenen Einheitswurzeln, die die Potenzen von ${}\zeta$ sind. Die primitiven Einheitswurzeln besitzen allesamt das Minimalpolynom ${}X^{4}+1$. Die ${}\mathbb {Q}$-Automorphismen

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

führen die achten Einheitswurzeln ineinander über, und zwar werden primitive Einheitswurzeln auf primitive Einheitswurzeln angebildet. Die komplexe Konjugation bildet ${}\zeta$ auf ${}\zeta ^{7}$ und ${}\zeta ^{3}$ auf ${}\zeta ^{5}$ und ${}\zeta ^{2}={\mathrm {i} }$ auf ${}\zeta ^{6}=-{\mathrm {i} }$ ab. Der durch ${}{\sqrt {2}}\mapsto -{\sqrt {2}}$ und ${}{\mathrm {i} }\mapsto {\mathrm {i} }$ gegebene Automorphismus (vergleiche Fakt) ${}\zeta ={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ bildet ${}\zeta$ auf ${}\zeta ^{5}$ und ${}\zeta ^{3}$ auf ${}\zeta ^{7}$ ab. In jedem Fall induziert jeder Automorphismus eine Permutation der achten Einheitswurzeln, also der Nullstellen des Polynoms ${}X^{8}-1$.