Achter Kreisteilungskörper/Zerfällungskörper/Wirkungsweise auf Nullstellen/Beispiel

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Wir betrachten den Zerfällungskörper zum Polynom , also den achten Kreisteilungskörper. Er wird von einer primitiven achten Einheitswurzel erzeugt und besitzt nach Beispiel die Darstellungen

Die Nullstellen von sind die acht verschiedenen Einheitswurzeln, die die Potenzen von sind. Die primitiven Einheitswurzeln besitzen allesamt das Minimalpolynom . Die -Automorphismen

führen die achten Einheitswurzeln ineinander über, und zwar werden primitive Einheitswurzeln auf primitive Einheitswurzeln angebildet. Die komplexe Konjugation bildet auf und auf und auf ab. Der durch und gegebene Automorphismus (vergleiche Fakt) bildet auf und auf ab. In jedem Fall induziert jeder Automorphismus eine Permutation der achten Einheitswurzeln, also der Nullstellen des Polynoms .