Affin-algebraische Menge/Affiner Koordinatenring/Einführung/Textabschnitt

Um eine affin-algebraische Menge, die bisher einfach die Nullstellenmenge zu einer Familie von Polynomen ist, besser verstehen zu können, müssen wir festlegen, welche Funktionen wir darauf als passend zur gegebenen algebraischen Struktur auffassen wollen. Für den affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ soll der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}K$ der Ring der relevanten Funktionen sein. Eine Polynomfamilie in ${}n$ Variablen legt selbst ein geometrisches Objekt fest, nämlich die zugehörige Nullstellenmenge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Die Polynome des umgebenden Raumes ergeben unmittelbar durch Einschränken Funktionen auf ${}V$. Allerdings liefert eine Funktion aus der Polynomfamilie, mit der man ${}V$ festgelegt hat, einfach die Nullfunktion auf ${}V$. Von daher ist es natürlich, diese Funktionen in einem algebraischen Sinn vom Polynomring ausgehend zu ${}0$ zu machen. Die Menge der auf ${}V$ verschwindenden Polynome bilden ein Ideal im Polynomring, das die definierende Polynomfamilie samt allen Linearkombinationen umfasst und das das Verschwindungsideal zu ${}V$ heißt. Wenn man ein Ideal zu ${}0$ machen möchte, so steht eine wichtige algebraische Konstruktion zur Verfügung, der Restklassenring.

Definition

Zu einer affin-algebraischen Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man ${}R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von ${}V$.

Diese Definition ist bei einem algebraisch abgeschlossenen Körper sinnvoll, hat sonst aber auch einige Tücken. Wenn man reell das Polynom ${}X^{2}+Y^{2}$ betrachtet, so besteht ${}V$ allein aus dem Nullpunkt ${}(0,0)$ und somit gehört bereits ${}X,Y$ zum Verschwindungsideal, aber nicht zu dem von ${}X^{2}+Y^{2}$ erzeugten Ideal. Der Restklassenring ist dann einfach ${}\mathbb {R} [X,Y]/(X,Y)=\mathbb {R}$, was zu dem einen Punkt gut passt, aber woran das Ausgangspolynom ${}X^{2}+Y^{2}$ nicht mehr erkennbar ist. Eine alternative Sichtweise besteht darin, den Restklassenring ${}\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2})$ als passenden Ring anzusehen.