Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Satz über implizite Abbildungen/Bemerkung

Wenn ${}\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine differenzierbare Abbildung und ${}P\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Punkt ist, in dem das totale Differential surjektiv ist (was ${}n\geq m$ voraussetzt), sodass man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann, so sind auch die Voraussetzungen von Definition erfüllt. Aufgrund der Voraussetzung des Satzes ist ja der Rang des totalen Differentials (also der Rang der Jacobi-Matrix) gleich ${}m$ und aufgrund des Satzes ist die Dimension der Faser im Punkt ${}P$ gleich ${}n-m$. Damit ist der Rang gleich ${}m=n-(n-m)=n-\operatorname {dim} _{P}(Y)$. Hierbei wird allerdings verwendet, dass die Mannigfaltigkeitsdimension der lokalen Faser mit der später zu definierenden algebraischen Dimension übereinstimmt. Bei ${}m=1$ und ${}\varphi \neq 0$ ist die Dimension der Faser ${}\leq n-1$ und ein Punkt der Faser ist genau dann glatt, wenn man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann. Beispiel gibt ein einfaches Beispiel eines glatten Punktes, in dem der Satz nicht angewendet werden kann.