Satz über implizite Abbildungen/K/Fakt

Der Satz über implizite Abbildungen

Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$  offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  ${}P\in G$  und es sei  ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$  die Faser durch ${}P$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq G$, eine offene Menge  ${}V\subseteq {\mathbb {K} }^{n-m}$  und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass  ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$  ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt  ${}Q\in V$  regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

${}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

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