Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Grundeigenschaften/Fakt

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge und sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}$ der zugehörige Koordinatenring. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}R$ ist reduziert.
2. ${}V=\emptyset$ genau dann, wenn ${}R$ der Nullring ist.
3. ${}V$ ist genau dann irreduzibel, wenn ${}R$ ein Integritätsbereich ist.
4. ${}V$ besteht genau dann aus einem einzigen Punkt, wenn ${}R=K$ ist.
5. Ist ${}K$ algebraisch abgeschlossen, und ${}V=V({\mathfrak {a}})$, so ist ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen