Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Grundeigenschaften/Fakt

Es sei  ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  eine affin-algebraische Menge und sei  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}$  der zugehörige Koordinatenring. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}R$ ist reduziert.
2.  ${}V=\emptyset$  genau dann, wenn ${}R$ der Nullring ist.
3. ${}V$ ist genau dann irreduzibel, wenn ${}R$ ein Integritätsbereich ist.
4. ${}V$ besteht genau dann aus einem einzigen Punkt, wenn  ${}R=K$  ist.
5. Ist ${}K$ algebraisch abgeschlossen, und  ${}V=V({\mathfrak {a}})$,  so ist  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$. 

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