Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Grundeigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei das Verschwindungsideal zu .

(1). Dies folgt aus Fakt und Fakt.

(2). ist äquivalent zu , und das ist äquivalent zu .

(3). Dies folgt aus Fakt und Fakt.

(4). Sei , . Dann ist und der Koordinatenring ist

Umgekehrt, wenn der Koordinatenring ist, so muss der zugehörige Restklassenhomomorphismus ein Einsetzungshomomorphismus sein, und das Verschwindungsideal zu muss ein Punktideal sein, und es ist . Wenn es noch einen weiteren Punkt , , gibt, so hat man einen Widerspruch, da nicht alle in verschwinden.

(5). Bei algebraisch abgeschlossen ist nach dem Hilbertschen Nullstellensatz.