Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Grundeigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $I=\mathrm{Id}(V)$  das Verschwindungsideal zu $V$.

(1). Dies folgt aus Fakt und Aufgabe.

(2).  $V=\mathrm{\varnothing }$  ist äquivalent zu  $1\in I$,  und das ist äquivalent zu  $R=0$. 

(3). Dies folgt aus Fakt und Aufgabe.

(4). Es sei  $V=\{P\}$,   $P=(a_1,\dots ,a_n)$.  Dann ist  $I=(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n)$  und der Koordinatenring ist

$K[X_1,\dots ,X_n]/(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n)\cong K.$

Umgekehrt, wenn der Koordinatenring $K$ ist, so muss der zugehörige Restklassenhomomorphismus ein Einsetzungshomomorphismus $X_i\mapsto a_i$ sein, und das Verschwindungsideal zu $V$ muss ein Punktideal sein, und es ist  $P=(a_1,\dots ,a_n)\in V$.  Wenn es noch einen weiteren Punkt $Q\in V$, $Q\ne P$, gibt, so hat man einen Widerspruch, da nicht alle $X_i-a_i$ in $Q$ verschwinden.

(5). Bei $K$ algebraisch abgeschlossen ist  $\mathrm{Id}(V)=\mathrm{rad}(𝔞)$  nach dem Hilbertschen Nullstellensatz.

Zur bewiesenen Aussage