Es sei
das Verschwindungsideal zu
.
(1). Dies folgt aus
Fakt
und
Fakt.
(2).
ist äquivalent zu
,
und das ist äquivalent zu
.
(3). Dies folgt aus
Fakt
und
Fakt.
(4). Es sei
,
.
Dann ist
und der Koordinatenring ist
-
![{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\cong K\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ed8cce6c6261569fd4d88ec6442a7b3ac52b09)
Umgekehrt, wenn der Koordinatenring
ist, so muss der zugehörige Restklassenhomomorphismus ein Einsetzungshomomorphismus
sein, und das Verschwindungsideal zu
muss ein Punktideal sein, und es ist
.
Wenn es noch einen weiteren Punkt
,
,
gibt, so hat man einen Widerspruch, da nicht alle
in
verschwinden.
(5). Bei
algebraisch abgeschlossen ist
nach dem Hilbertschen Nullstellensatz.