Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Grundeigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}I=\operatorname {Id} \,(V)$  das Verschwindungsideal zu ${}V$.

(1). Dies folgt aus Fakt und Aufgabe.

(2).  ${}V=\emptyset$  ist äquivalent zu  ${}1\in I$,  und das ist äquivalent zu  ${}R=0$. 

(3). Dies folgt aus Fakt und Aufgabe.

(4). Es sei  ${}V=\{P\}$,   ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})$.  Dann ist  ${}I={\left(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}$  und der Koordinatenring ist

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\cong K\,.$

Umgekehrt, wenn der Koordinatenring ${}K$ ist, so muss der zugehörige Restklassenhomomorphismus ein Einsetzungshomomorphismus ${}X_{i}\mapsto a_{i}$ sein, und das Verschwindungsideal zu ${}V$ muss ein Punktideal sein, und es ist  ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V$.  Wenn es noch einen weiteren Punkt ${}Q\in V$, ${}Q\neq P$, gibt, so hat man einen Widerspruch, da nicht alle ${}X_{i}-a_{i}$ in ${}Q$ verschwinden.

(5). Bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist  ${}\operatorname {Id} \,(V)=\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$  nach dem Hilbertschen Nullstellensatz.

Zur bewiesenen Aussage