Ein Polynom liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz , was einen Ringhomomorphismus
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induziert. Ein Element induziert dabei die Nullfunktion, nach der Definition von . Für mit ist mit auf auch auf . Daher ergibt sich insgesamt ein Ringhomomorphismus
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Es sei nun so, dass auf die Nullabbildung induziert. Dann gehört nach dem Hilbertschen Nullstellensatz zum Radikal von . D.h. die Abbildung ist injektiv.
Es sei nun ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt zwei Polynome mit und mit auf . Die bilden eine offene Überdeckung von und das bedeutet nach Fakt, dass die in das Einheitsideal erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir , . Dann wiederum überdecken diese , , ganz .
Auf den Durchschnitten haben wir die Identitäten
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Daraus folgt nach Fakt, dass
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gilt.
Da die das Einheitsideal erzeugen gibt es Elemente mit
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in . Wir behaupten, dass das Polynom
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auf die Funktion induziert. Dazu sei ein Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung . Dann ist