Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Beschreibung mit Homogenisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Ein Punkt  $P=(x_1,\dots ,x_n)$  in ${𝔸}_K^n$ definiert den Punkt  $\hat{P}=(1,x_1,\dots ,x_n)$  in ${\mathbb{P}}_K^n$. Für ein Polynom  $F\in K[X_1,\dots ,X_n]$  und $P$ gilt  $F(P)=\hat{F}(\hat{P})$  für die Homogenisierung $\hat{F}$. Daher gilt insbesondere  $\hat{F}(\hat{P})=0$  für alle Punkte  $P\in V(𝔞)$  und alle homogenen Polynome aus dem homogenisierten Ideal $𝔟$. Es ist also  $V(𝔞)\subseteq V_{+}(𝔟)$.  Damit liegt insgesamt das kommutative Diagramm

$\begin{array}{cccc}V(𝔞)& \stackrel{}{⟶}& V_{+}(𝔟)& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ {𝔸}_K^n& \stackrel{}{⟶}& {\mathbb{P}}_K^n& \end{array}$

vor (wobei alle Abbildungen injektiv sind). Der projektive Abschluss von $V(𝔞)$ wird von einer Menge $V_{+}(𝔠)$ mit einem homogenen Ideal $𝔠$ und mit  $V(𝔞)\subseteq V_{+}(𝔠)$  und  $V_{+}(𝔠)\subseteq V_{+}(𝔟)$  beschrieben.

Wir haben die Inklusion  $V_{+}(𝔟)\subseteq V_{+}(𝔠)$  zu zeigen, was aus  $𝔠\subseteq \mathrm{rad}(𝔟)$  folgt. Da beides homogene Ideale sind, kann man sich auf  $F\in 𝔠$  homogen beschränken. Wir schreiben  $F=X_0^{r}G$,  sodass $G$ kein Vielfaches von $X_0$ ist. Da $F$ auf $V(𝔞)$ verschwindet und da $X_0$ eingeschränkt auf  $V(𝔞)\subseteq D_{+}(X_0)$  keine Nullstelle besitzt, folgt, dass $G$ auf $V(𝔞)$ verschwindet. Wir können also annehmen, dass $F$ kein Vielfaches von $X_0$ ist. Dann ist die Dehomogenisierung

$\tilde{F}=F(1,X_1,\dots ,X_n)$

die Nullfunktion auf $V(𝔞)$ und besitzt den gleichen Grad wie $F$. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz gehört $\tilde{F}$ zu $𝔞$ (wir können annehmen, dass $𝔞$ ein Radikal ist). Dann gehört aber auch $F$, das sich aus $\tilde{F}$ durch Homogenisieren ergibt, zur Homogenisierung von $𝔞$, also zu $𝔟$.

Zur bewiesenen Aussage