Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Einheit auf Nullstellenmenge und im Restklassenring/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf ${}V$ keine Nullstelle besitzt.

Dann ist ${}F$ im Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Einheit.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen