Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}\operatorname {Id} \,(V)$ kein Primideal. Bei  ${}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ist  ${}V=\emptyset$,  also ist ${}V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome  ${}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  mit  ${}FG\in \operatorname {Id} \,(V)$,  aber  ${}F,G\notin \operatorname {Id} \,(V)$.  Dies bedeutet, dass es Punkte  ${}P,Q\in V$  mit  ${}F(P)\neq 0$  und  ${}G(Q)\neq 0$  gibt. Wir betrachten die beiden Ideale  ${}{\mathfrak {a}}_{1}=\operatorname {Id} \,(V)+(F)$  und  ${}{\mathfrak {a}}_{2}=\operatorname {Id} \,(V)+(G)$.  Daher ist

${}V({\mathfrak {a}}_{1}),V({\mathfrak {a}}_{2})\subseteq V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,$

nach Fakt  (3). Wegen ${}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$ und ${}Q\not \in V({\mathfrak {a}}_{2})$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

${}V({\mathfrak {a}}_{1})\cup V({\mathfrak {a}}_{2})=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2})=V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,,$

sodass eine nicht-triviale Zerlegung von ${}V$ vorliegt und somit ${}V$ nicht irreduzibel ist.
Es sei nun ${}V$ nicht irreduzibel. Bei  ${}V=\emptyset$  ist  ${}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  kein Primideal. Es sei also  ${}V\neq \emptyset$  mit der nicht-trivialen Zerlegung  ${}V=Y\cup Z$.  Es sei  ${}Y=V{\left({\mathfrak {a}}_{1}\right)}$  und  ${}Z=V{\left({\mathfrak {a}}_{2}\right)}$.  Wegen  ${}Y\subset V$  gibt es einen Punkt ${}P\in V=V(\operatorname {Id} \,(V))$, ${}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$. Also gibt es auch ein  ${}F\in {\mathfrak {a}}_{1}$,   ${}F(P)\neq 0$,  und somit  ${}F\notin \operatorname {Id} \,(V)$.  Ebenso gibt es  ${}G\in {\mathfrak {a}}_{2}$,   ${}G\notin \operatorname {Id} \,(V)$.  Für einen beliebigen Punkt  ${}Q\in V=Y\cup Z$  ist  ${}(FG)(Q)=0$,  da ${}F$ auf ${}Y$ und ${}G$ auf ${}Z$ verschwindet. Also ist  ${}FG\in \operatorname {Id} \,(V)$ 

und daher ist ${}\operatorname {Id} \,(V)$ kein Primideal.

Zur gelösten Aufgabe