Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Sei kein Primideal. Bei ist , also ist nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome mit , aber . Dies bedeutet, dass es Punkte mit und gibt. Wir betrachten die beiden Ideale und . Daher ist

nach Fakt  (3). Wegen und sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

so dass eine nicht-triviale Zerlegung von vorliegt und somit nicht irreduzibel ist.
Sei nun nicht irreduzibel. Bei ist kein Primideal. Sei also mit der nicht-trivialen Zerlegung . Sei und . Wegen gibt es einen Punkt , .

Also gibt es auch ein , , und somit . Ebenso gibt es , . Für einen beliebigen Punkt ist , da auf und auf verschwindet. Also ist und daher ist kein Primideal.
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