Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}\operatorname {Id} \,(V)$ kein Primideal. Bei ${}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist ${}V=\emptyset$ , also ist ${}V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome ${}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}FG\in \operatorname {Id} \,(V)$ , aber ${}F,G\not \in \operatorname {Id} \,(V)$ . Dies bedeutet, dass es Punkte ${}P,Q\in V$ mit ${}F(P)\neq 0$ und ${}G(Q)\neq 0$ gibt. Wir betrachten die beiden Ideale ${}{\mathfrak {a}}_{1}=\operatorname {Id} \,(V)+(F)$ und ${}{\mathfrak {a}}_{2}=\operatorname {Id} \,(V)+(G)$ . Daher ist

{}V({\mathfrak {a}}_{1}),V({\mathfrak {a}}_{2})\subseteq V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,

nach Fakt (3). Wegen ${}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$ und ${}Q\not \in V({\mathfrak {a}}_{2})$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

{}V({\mathfrak {a}}_{1})\cup V({\mathfrak {a}}_{2})=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2})=V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,,

sodass eine nicht-triviale Zerlegung von ${}V$ vorliegt und somit ${}V$ nicht irreduzibel ist.
Es sei nun ${}V$ nicht irreduzibel. Bei ${}V=\emptyset$ ist ${}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ kein Primideal. Es sei also ${}V\neq \emptyset$ mit der nicht-trivialen Zerlegung ${}V=Y\cup Z$ . Es sei ${}Y=V({\mathfrak {a}}_{1})$ und ${}Z=V({\mathfrak {a}}_{2})$ . Wegen ${}Y\subset V$ gibt es einen Punkt ${}P\in V=V(\operatorname {Id} \,(V))$ , ${}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$ .