Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $\mathrm{Id}(V)$ kein Primideal. Bei  $\mathrm{Id}(V)=K[X_1,\dots ,X_n]$  ist  $V=\mathrm{\varnothing }$,  also ist $V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome  $F,G\in K[X_1,\dots ,X_n]$  mit  $FG\in \mathrm{Id}(V)$,  aber  $F,G\notin \mathrm{Id}(V)$.  Dies bedeutet, dass es Punkte  $P,Q\in V$  mit  $F(P)\ne 0$  und  $G(Q)\ne 0$  gibt. Wir betrachten die beiden Ideale  ${𝔞}_1=\mathrm{Id}(V)+(F)$  und  ${𝔞}_2=\mathrm{Id}(V)+(G)$.  Daher ist

$V({𝔞}_1),V({𝔞}_2)\subseteq V(\mathrm{Id}(V))=V$

nach Fakt  (3). Wegen $P\in ̸V({𝔞}_1)$ und $Q\in ̸V({𝔞}_2)$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

$V({𝔞}_1)\cup V({𝔞}_2)=V({𝔞}_1\cdot {𝔞}_2)=V(\mathrm{Id}(V))=V,$

sodass eine nicht-triviale Zerlegung von $V$ vorliegt und somit $V$ nicht irreduzibel ist.
Es sei nun $V$ nicht irreduzibel. Bei  $V=\mathrm{\varnothing }$  ist  $\mathrm{Id}(V)=K[X_1,\dots ,X_n]$  kein Primideal. Es sei also  $V\ne \mathrm{\varnothing }$  mit der nicht-trivialen Zerlegung  $V=Y\cup Z$.  Es sei  $Y=V\left({𝔞}_1\right)$  und  $Z=V\left({𝔞}_2\right)$.  Wegen  $Y\subset V$  gibt es einen Punkt $P\in V=V(\mathrm{Id}(V))$, $P\in ̸V({𝔞}_1)$. Also gibt es auch ein  $F\in {𝔞}_1$,   $F(P)\ne 0$,  und somit  $F\notin \mathrm{Id}(V)$.  Ebenso gibt es  $G\in {𝔞}_2$,   $G\notin \mathrm{Id}(V)$.  Für einen beliebigen Punkt  $Q\in V=Y\cup Z$  ist  $(FG)(Q)=0$,  da $F$ auf $Y$ und $G$ auf $Z$ verschwindet. Also ist  $FG\in \mathrm{Id}(V)$ 

und daher ist $\mathrm{Id}(V)$ kein Primideal.

Zur gelösten Aufgabe