Affiner Raum/Affiner Unterraum/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$. Für eine Teilmenge  ${}F\subseteq E$  sind äquivalent.

1. ${}F$ ist ein affiner Unterraum von ${}E$.
2. Zu  ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in F$  und Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ mit  ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1$  ist auch  ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}\in F$. 
3. Mit je zwei Punkten  ${}P,Q\in F$  und  ${}r,s\in K$  mit  ${}r+s=1$  ist auch  ${}rP+sQ\in F$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen