Affiner Raum/Affiner Unterraum/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$. Für eine Teilmenge ${}F\subseteq E$ sind äquivalent.

1. ${}F$ ist ein affiner Unterraum von ${}E$.
2. Zu ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in F$ und Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1$ ist auch ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}\in F$.
3. Mit je zwei Punkten ${}P,Q\in F$ und ${}r,s\in K$ mit ${}r+s=1$ ist auch ${}rP+sQ\in F$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen