Affiner Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt und basistrivial/Koordinaten/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei
$ψ : K [X_{1}, \dots, X_{n}] ⟶ K [X_{1}, \dots, X_{n}], X_{i} ⟼ X_{i}^{q},$

der angegebene $K$ -Algebrahomomorphismus. Ein Punkt $(a_{1}, \dots, a_{n})$ mit Koordinaten aus $L$ zu einer beliebigen Körpererweiterung $K \subseteq L$ ist als $K$ -Algebrahomomorphismus

$K [X_{1}, \dots, X_{n}] ⟶ L, X_{i} ⟼ a_{i},$

aufzufassen. Die Verknüpfung mit dem algebraischen Frobenius-Homomorphismus ist durch $X_{i} \mapsto X_{i}^{q} \mapsto a_{i}^{q}$ gegeben, was dem $L$ -Punkt des affinen Raumes mit den Koordinaten

$(ψ (a_{1}), \dots, ψ (a_{n})) = (a_{1}^{q}, \dots, a_{n}^{q})$

entspricht.
2. wurde in 1 mitbewiesen.
3 folgt aus 2 und Fakt.
Es genügt die entsprechende Aussage für jedes $f \in 𝔞$ zu zeigen. Aus $P \in V (f)$ folgt generell, dass der Bildpunkt zu $V (ψ (f))$ gehört, und wegen $f \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ist $ψ (f) = f^{q}$ und somit $V (f) = V (f^{q}) = V (ψ (f))$ .