Affiner Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt und basistrivial/Koordinaten/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Der ${}e$-te Frobeniusmorphismus ist auf dem affinen Raum über ${}K$ die Spektrumsabbildung zum ${}K$-Algebrahomomorphismus

   $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q}.$

2. Ein ${}L$-Punkt ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ zu einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ wird unter dem Morphismus auf den ${}L$-Punkt ${}\left(a_{1}^{q},\,\ldots ,\,a_{n}^{q}\right)$ abgebildet.
3. Ein Punkt

   ${}P\in {{\mathbb {A} }_{}^{n}}({\overline {K}})={\overline {K}}^{n}\,$

   gehört genau dann zu ${}K^{n}$, wenn

   ${}F^{e}(P)=P\,$

   ist.

4. Wenn ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal und ${}P\in V({\mathfrak {a}})$ ein ${}L$-Punkt ist, so ist auch ${}F^{e}(P)\in V({\mathfrak {a}})$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen