Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Beweis

Beweis

Angenommen, ${}F$ gehöre nicht zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$. Dann gibt es nach Fakt auch ein maximales Ideal  ${}{\mathfrak {m}}\subset K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  mit  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$  und mit  ${}F\notin {\mathfrak {m}}$.  Nach Fakt ist  ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}=K$  und somit

${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}\,$

für gewisse  ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$.  Die Eigenschaft  ${}F\notin {\mathfrak {m}}$  bedeutet, dass ${}F$ im zugehörigen Restekörper nicht ${}0$ ist, und das bedeutet  ${}F(a_{1},\ldots ,a_{n})\neq 0$.  Wegen  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$  ist aber ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ein Punkt von ${}V$, sodass dort nach Voraussetzung ${}F$ verschwindet. Das ist also ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage