Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Beweis

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Beweis

Angenommen, gehöre nicht zum Radikal von . Dann gibt es nach Fakt auch ein maximales Ideal mit und mit . Nach Fakt ist

für gewisse . Die Eigenschaft bedeutet, dass im zugehörigen Restekörper nicht ist, und das bedeutet . Wegen ist aber ein Punkt von , so dass dort nach Voraussetzung verschwindet. Das ist also ein Widerspruch.