Affines Schema/Syzygiengarbe zu Idealerzeugern/Bemerkung

Zu Elementen ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ gehört der Modulhomomorphismus ${}R^{n}\longrightarrow R$, ${}e_{i}\longmapsto f_{i}$. Das Bild ist das von den ${}f_{i}$ erzeugte Ideal, insbesondere ist diese Abbildung nur dann surjektiv, wenn die ${}f_{i}$ das Einheitsideal erzeugen. Der zugehörige Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}^{n}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}$ ist im Allgemeinen auch nicht surjektiv und der Kern ist im Allgemeinen nicht lokal frei. Wenn man allerdings die Einschränkung dieses Garbenhomomorphismus auf die offene Teilmenge ${}U=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})$ betrachtet, also ${}{\mathcal {O}}_{U}^{n}\rightarrow {\mathcal {O}}_{U}$, so erhält man einen surjektiven Garbenhomomorphismus, da auf den einzelnen ${}D(f_{i})$ wegen ${}{\frac {1}{f_{i}}}e_{i}\mapsto 1$ ein surjektiver Garbenhomomorphismus vorliegt. Der Kern ist dann nach Fakt eine lokal freie Garbe auf dem quasiaffinen Schema ${}U$, es wird mit ${}\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ bezeichnet, man sprich von einer Syzygiengarbe oder Kerngarbe. Wenn ${}R$ ein lokaler Ring ist und die ${}f_{i}$ ein Ideal erzeugen, dass zum maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ primär ist (d.h. die ${}f_{i}$ schneiden geometrisch den abgeschlossenen Punkt heraus), so ist die Syzygiengarbe eine lokal freie Garbe auf dem punktierten Spektrum ${}D{\left({\mathfrak {m}}\right)}$.