Algebra/Körper/Endlicher Typ/Hyperfläche/Gleichdimensional/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es eine endliche Erweiterung

${}P=K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\subseteq R\,.$

Dabei ist ${}(F)\cap P\neq \emptyset$ nach Aufgabe, sei ${}G\in (F)\cap P$, ${}G\neq 0$. Für jedes minimale Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ über ${}(F)$ ist auch

$P/{\mathfrak {p}}\cap P\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}$

injektiv und endlich. Nach Fakt stimmen die Dimensionen der beiden Ringe überein. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz ist die Höhe von ${}{\mathfrak {p}}$ gleich ${}1$ und dies überträgt sich wegen der Endlichkeit auf ${}{\mathfrak {p}}\cap P$. Diese Primideale sind also minimal oberhalb von ${}G$. Es genügt also, die Aussage für den Polynomring selbst zu zeigen. Wie im Beweis zu Fakt betrachten wir eine endliche Erweiterung

${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{n-1}]\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,.$

Jedes minimale Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ des Hyperflächenringes, also jedes minimale Primoberideal ${}{\mathfrak {p}}$ zu ${}F$, schneidet wegen der Dimensionsgleichheit auf das Nullideal herunter, d.h. auch die Gesamtabbildung

$K[Y_{1},\ldots ,Y_{n-1}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {p}}$

ist injektiv und endlich und daher ist die Dimension oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ gleich ${}n-1$.

Zur bewiesenen Aussage