Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Dimension und Transzendenzgrad/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es algebraisch unabhängige Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ derart, dass

${}K[f_{1},\ldots ,f_{n}]\subseteq R\,$

endlich ist. Dann ist auch die Körpererweiterung der Quotientenkörper

${}Q(K[f_{1},\ldots ,f_{n}])=K(f_{1},\ldots ,f_{n})\cong K(T_{1},\ldots ,T_{n})\subseteq Q(R)\,$

endlich. Also ist ${}n$ nach Definition der Transzendenzgrad.

Zur bewiesenen Aussage