Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}d$ die Dimension von ${}R$, wir führen Induktion über ${}d$. Bei ${}d=0$ ist die Aussage klar. Zum Induktionsschluss sei

${}0\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,$

eine maximale Primidealkette in ${}R$. Nach Fakt gibt es eine endliche Erweiterung

${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\subseteq R\,.$

Wir betrachten

${}{\mathfrak {q}}_{1}:={\mathfrak {p}}_{1}\cap K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\,.$

Nach Aufgabe ist ${}{\mathfrak {q}}_{1}$ nicht das Nullideal. Würde es ein Primideal

${}0\subset {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\,$

geben, so würde es dazu nach Fakt eine Primidealkette

${}0\subset {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\,$

geben, die darüber liegt, und dann wäre die Kette nicht maximal. Das bedeutet, dass ${}{\mathfrak {q}}_{1}$ die Höhe ${}1$ besitzt. Da der Polynomring faktoriell ist, ist

${}{\mathfrak {q}}_{1}=(F)\,$

ein Primhauptideal und somit ist nach Fakt die Dimension von ${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]/(F)$ gleich ${}d-1$. Da die induzierte Abbildung

$K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]/(F)\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}_{1}$

ebenfalls endlich und injektiv ist, folgt nach Fakt, dass die Dimension von ${}R/{\mathfrak {p}}_{1}$ gleich ${}d-1$ ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt jede maximale Primidealkette in ${}R/{\mathfrak {p}}_{1}$ die Länge ${}d-1$. Unsere Primidealkette induziert (startend mit ${}{\mathfrak {p}}_{1}$) eine maximale Primidealkette in ${}R/{\mathfrak {p}}_{1}$, also ist

${}n-1=d-1\,$

und daher ${}n=d$.

Zur bewiesenen Aussage