Algebra/Ringhomomorphismus/Erzeugt/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$-Algebra.

Häufig ist der Ringhomomorphismus, der zum Begriff der Algebra gehört, vom Kontext her klar und wird nicht explizit aufgeführt. Z.B. ist der Polynomring ${}R[X]$ eine ${}R$-Algebra, indem man die Elemente aus ${}R$ als konstante Polynome auffasst, oder jeder Ring ist auf eine eindeutige Weise eine ${}\mathbb {Z}$-Algebra über den kanonischen Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \longrightarrow R$, ${}n\longmapsto n_{R}$.

Wir werden den Begriff der Algebra vor allem in dem Fall verwenden, wo der Grundring ${}R$ ein Körper ${}K$ ist. Eine ${}K$-Algebra ${}A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper ${}K$ auffassen. Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Eine typische Situation ist dabei, dass ${}\mathbb {Q}$ der Grundkörper ist und ein Zwischenring ${}L$, ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }$, gegeben ist. Dann ist ${}L$ über die Inklusion direkt eine ${}\mathbb {Q}$-Algebra.

Wenn man zwei Algebren über einem gemeinsamen Grundring hat, so sind vor allem diejenigen Ringhomomorphismen interessant, die den Grundring mitberücksichtigen. Dies führt zu folgendem Begriff.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$-Algebren über einem kommutativen Grundring ${}K$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

einen ${}K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen ${}K\rightarrow R$ und ${}K\rightarrow S$ verträglich ist.

Zum Beispiel ist jeder Ringhomomorphismus ein ${}\mathbb {Z}$-Algebrahomomorphismus, da es zu jedem Ring ${}A$ überhaupt nur den kanonischen Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \rightarrow A$ gibt. Mit dieser Terminologie kann man den Einsetzungshomomorphismus jetzt so verstehen, dass der Polynomring ${}R[X]$ mit seiner natürlichen Algebrastruktur und eine weitere ${}R$-Algebra ${}A$ mit einem fixierten Element ${}a\in A$ vorliegt und dass dann durch ${}X\mapsto a$ ein ${}R$-Algebrahomomorphismus ${}R[X]\rightarrow A$ definiert wird.

Definition

Es sei ${}A$ eine ${}R$-Algebra und sei ${}f_{i}\in A$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen aus ${}A$. Dann heißt die kleinste ${}R$-Unteralgebra von ${}A$, die alle ${}f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte ${}R$-Algebra. Sie wird mit ${}R[f_{i},\,i\in I]$ bezeichnet.

Man kann diese ${}R$-Algebra auch als den kleinsten Unterring von ${}A$ charakterisieren, der sowohl ${}R$ als auch die ${}f_{i}$ enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten ${}K$-Algebren in einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach ${}K[f]$, und diese ${}K$-Algebra besteht aus allen ${}K$-Linearkombinationen von Potenzen von ${}f$. Dies ist das Bild unter dem durch ${}X\mapsto f$ gegebenen Einsetzungshomomorphismus.

Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von ${}L$ betrachten, der sowohl ${}K$ als auch eine Elementfamilie ${}f_{i}$, ${}i\in I$, enthält. Dieser wird mit ${}K(f_{i},i\in I)$ bezeichnet, und man sagt, dass die ${}f_{i}$ ein Körper-Erzeugendensystem von diesem Körper bilden. Es ist ${}K[f_{i},i\in I]\subseteq K(f_{i},i\in I)$ und insbesondere ${}K[f]\subseteq K(f)$.