Algebraische Kurven/Einführung/Gallerie/Erläuterung/Fortsetzung/Newton/Textabschnitt

Isaac Newton (1643–1727)

Eine Kreisgleichung kann man als eine Gleichung der Form

${}Y^{2}=G(X)\,$

auffassen, wobei ${}G$ ein Polynom in der einen Variablen ${}X$ bezeichnet (im Fall eines Kreises ist ${}G=-X^{2}+1$). Das ist kein Graph, aber die „Wurzel“ eines Graphen. Betrachten wir generell eine solche Situation, wo ${}G(X)$ auch komplizierter sein darf. Das Nullstellengebilde repräsentiert hier die Quadratwurzel ${}{\sqrt {G(X)}}$. Wenn man sich für ${}X$ einen beliebigen Wert ${}x$ vorgibt, so gibt es (im Reellen) drei Möglichkeiten für zugehörige Lösungen:

• Wenn ${}G(x)$ negativ ist, so gibt es keine Lösung.
• Wenn
${}G(x)=0$ ist, so gibt es genau die Lösung ${}y=0$.
• Wenn ${}G(x)$ positiv ist, so gibt es die beiden Lösungen
${}y=\pm {\sqrt {G(x)}}$.

Das gibt auch einen Ansatz, wie das reelle Bild aussieht: Für jedes ${}x$ berechnet man ${}G(x)$ und markiert bei ${}(x,\pm {\sqrt {G(x)}})$ (falls der Radikand nichtnegativ ist) einen Punkt.

Im Komplexen sind nur die Fälle ${}G(x)=0$ oder ${}G(x)\neq 0$ zu unterscheiden. Wenn ${}G$ selbst nur den Grad zwei besitzt, so handelt es sich um einen Kegelschnitt, die schon in der Antike betrachtet wurden.

Mit dem Fall, dass ${}G(X)$ ein kubisches (reelles) Polynom ist (also den Grad drei besitzt), hat sich Isaac Newton intensiv beschäftigt. Dieses Beispielmaterial ist schon sehr reichhaltig.

Betrachten wir den Fall ${}G(X)=X^{3}$, also das durch

${\left\{(x,y)\mid y^{2}=x^{3}\right\}}$

beschriebene Gebilde. Dieses Gebilde nennt man die Neilsche Parabel. Hier tritt ein neues Phänomen auf, nämlich, dass der Nullpunkt anders ist als alle anderen Punkte. Man spricht von einer Singularität; im Gegensatz dazu nennt man die anderen Punkte glatt oder nicht-singulär. Eine genaue Definition zu geben ist Teil dieses Kurses, als erste ungenaue Formulierung kann man sagen, dass eine Kurve in einem glatten Punkt lokal und in geeigneten Koordinaten so aussieht wie der (gedrehte) Graph einer differenzierbaren Funktion. Die Singularität in der Neilschen Parabel nennt man auch eine Spitze (oder eine Kuspe, was einfach Spitze bedeutet). Dagegen ist die Singularität im Bild 8 ein Kreuzungspunkt oder Doppelpunkt.

Im Bild 7 vom Anfang und oben sieht man ebenfalls Nullstellengebilde der Form ${}Y^{2}=G(X)$, wobei ${}G(X)$ ein Polynom vom Grad drei ist. Wie sieht ${}G(X)$ aus, damit sich solch eine Kurve ergibt? Die zuletzt genannten Beispiele zeigen auch, dass es von der genauen Gestalt von ${}G(X)$ abhängt, ob die Kurve eine Singularität besitzt oder nicht.

Bleiben wir noch bei der Neilschen Parabel ${}C$. Wenn ${}t$ irgendeine reelle oder komplexe Zahl ist, so liegt der Punkt mit den Koordinaten ${}(x,y)=\left(t^{2},\,t^{3}\right)$ stets auf der Neilschen Parabel, da ja ${}{\left(t^{2}\right)}^{3}=t^{6}={\left(t^{3}\right)}^{2}$ ist. Man kann auch umgekehrt zeigen (siehe Aufgabe), dass jeder Punkt der Neilschen Parabel eine solche Gestalt besitzt, dass es also zu ${}(x,y)$ mit ${}y^{2}=x^{3}$ ein (und zwar genau ein) ${}t$ mit ${}(x,y)=\left(t^{2},\,t^{3}\right)$ gibt. Man sagt, dass die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow C,\,t\longmapsto (t^{2},t^{3}),$

eine (bijektive polynomiale) Parametrisierung der Neilschen Parabel ist. Es ist eine nicht-triviale Frage, welche algebraischen Kurven eine polynomiale Parametrisierung besitzen. Eine Kurve der Form ${}Y^{2}=G(X)$, die glatt ist und wo ${}G$ den Grad drei hat, besitzt keine solche Parametrisierung. In der elementaren Zahlentheorie lernt man, dass alle pythagoreischen Tripel auf eine einfache übersichtliche Gestalt gebracht werden können, siehe Fakt. Äquivalent dazu ist eine (rationale) Parametrisierung des rationalen Einheitskreises, siehe Fakt. Dies werden wir in größerer Allgemeinheit in Fakt behandeln.