Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt

   ${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$

   das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.

2. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt ${}R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes ${}u\in U$ und ${}r\in R$ auch ${}ru\in U$ ist.
3. Man nennt den Unterring

   ${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$

   die Nenneraufnahme zu ${}S$.

4. Unter einer affinen Varietät versteht man das ${}K$-Spektrum zu einer ${}K$-Algebra von endlichem Typ ${}R$, wobei alle Zariski-offenen Mengen ${}U$ mit dem Ring der algebraischen Funktionen ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ versehen sind.
5. Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ unter einer Abbildung der Form

   ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,t\longmapsto \left(t^{e_{1}},\,\ldots ,\,t^{e_{n}}\right),$

   mit ${}e_{i}\geq 1$ für alle ${}i$.

6. Unter der Schnittmultiplizität von ${}V(F)$ und ${}V(G)$ in ${}P$ versteht man die Dimension

   $\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}.$

Zur gelösten Aufgabe