Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper $K$ ist das Nullstellengebilde  $V(F)\subseteq K^2$  eines nicht-konstanten Polynoms $F$ in zwei Variablen.
2. Man nennt

   $\{F\in K[X_1,\dots ,X_n]\mid F(P)=0\text{ für alle }P\in T\}$

   das Verschwindungsideal zu $T$.

3. Der $R$-Modul $M$ heißt noethersch, wenn jeder $R$-Untermodul von $M$ endlich erzeugt ist.
4. Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
5. Es sei $F={\sum }_{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{T}^i\in K[[T]]$ eine Potenzreihe und es sei $G={\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term $0$. Dann nennt man die Potenzreihe

   $\begin{array}{cc}F(G)& =a_0+a_1\left({\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j\right)+a_2{\left({\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j\right)}^2+a_3{\left({\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j\right)}^3+\dots \\ & ={\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{T}^k\end{array}$

   die eingesetzte Potenzreihe.
6. Der projektive Raum ${\mathbb{P}}_K^n$ besteht aus allen Geraden des ${𝔸}_K^{n+1}$ durch den Nullpunkt.

Zur gelösten Aufgabe