Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt eine Abbildung ${}\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der Form

   ${}\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+(v_{1},\ldots ,v_{n})\,,$

   wobei ${}M$ eine invertierbare Matrix ist, eine affin-lineare Variablentransformation.

2. Eine ebene algebraische Kurve ${}C=V(F)$ heißt rational , wenn sie irreduzibel ist und es eine rationale Parametrisierung für sie gibt.
3. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

   $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

   festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):

   1. ${}r(su)=(rs)u$,
   2. ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$,
   3. ${}(r+s)u=(ru)+(su)$,
   4. ${}1u=u$.
4. Man nennt die minimale Anzahl von Elementen in einem Erzeugendensystem für ${}M$ die Einbettungsdimension von ${}M$.
5. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form

   ${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }T^{\nu }=\sum _{\nu }a_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,.$

   wobei ${}a_{\nu }\in R$ ist für alle ${}\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$.

6. Man nennt

   $V_{+}({\mathfrak {a}})={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

   das projektive Nullstellengebilde zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Zur gelösten Aufgabe