Allgemeine lineare Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}n\in \mathbb {N}$. Wir möchten eine Hopf-Algebra konstruieren, derart, dass die Menge ihrer ${}K$-Punkte mit der induzierten Gruppenstruktur gleich der Gruppe der invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ über ${}K$ ist. Eine solche Matrix besteht aus ${}n^{2}$ Einträgen, von daher betrachten wir zunächst den Polynomring

$K[X_{ij},\,1\leq i,j\leq n].$

Einen ${}K$-Punkt dieses Ringes, also eine Belegung der Variablen, fassen wir als eine Matrix auf. Die Bedingung, dass die Matrix invertierbar ist, kann man über die Determinante ausdrücken, und zwar muss diese eine Einheit in ${}K$ sein. Eine Belegung der Variablen, die einer invertierbaren Matrix entspricht, muss also aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme durch

${}H=K[X_{ij},\,1\leq i,j\leq n]_{D}\,$

faktorisieren, wobei ${}D$ die Determinante in den Variablen ${}X_{ij}$ bezeichnet.

Wir erklären auf ${}H$ eine Hopf-Algebrastruktur, wobei wir uns von der Gruppenstruktur auf der allgemeinen linearen Gruppe leiten lassen. Die Komultiplikation wird durch

$H\longrightarrow H\otimes _{K}H,\,X_{ij}\longmapsto \sum _{k=1}^{n}Y_{ik}\otimes Z_{kj},$

definiert. Die Koeinheit wird durch

$\epsilon (X_{ij})={\begin{cases}1{\text{ für }}i=j,\\0{\text{ sonst,}}\end{cases}}$

festgelegt, das Koinverse wird mit Hilfe der Formel

${}M^{-1}={\frac {1}{\det M}}\cdot M^{\operatorname {adj} }\,$

erstellt, wobei die adjungierte Matrix ein Polynom in den Einträgen der Matrix ist. Das Koinverse bildet demnach ${}X_{ij}$ auf den ${}(i,j)$-ten Eintrag in der rechten Seite der obigen Formel ab.