Allgemeine lineare Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel

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Es sei ein kommutativer Ring und . Wir möchten eine Hopf-Algebra konstruieren, derart, dass die Menge ihrer -Punkte mit der induzierten Gruppenstruktur gleich der Gruppe der invertierbaren -Matrizen über ist. Eine solche Matrix besteht aus Einträgen, von daher betrachten wir zunächst den Polynomring

Einen -Punkt dieses Ringes, also eine Belegung der Variablen, fassen wir als eine Matrix auf. Die Bedingung, dass die Matrix invertierbar ist, kann man über die Determinante ausdrücken, und zwar muss diese eine Einheit in sein. Eine Belegung der Variablen, die einer invertierbaren Matrix entspricht, muss also aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme durch

faktorisieren, wobei die Determinante in den Variablen bezeichnet.

Wir erklären auf eine Hopf-Algebrastruktur, wobei wir uns von der Gruppenstruktur auf der allgemeinen linearen Gruppe leiten lassen. Die Komultiplikation wird durch

definiert. Die Koeinheit wird durch

festgelegt, das Koinverse wird mit Hilfe der Formel

erstellt, wobei die adjungierte Matrix ein Polynom in den Einträgen der Matrix ist. Das Koinverse bildet demnach auf den -ten Eintrag in der rechten Seite der obigen Formel ab.