Allgemeine lineare Gruppe/Operation auf Punktkonfiguration/Situation/Beispiel

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Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Die natürliche Operation der allgemeinen linearen Gruppe besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt und . Je zwei von verschiedene Vektoren können ja mit einem geeigneten ineinander überführt werden. Hier sind also keine interessanten Invarianten zu erwarten.

Ein transformiert aber nicht nur einen einzigen Punkt (einen Vektor), sondern beliebige Teilmengen . Die Frage, ob zwei Teilmengen mittels einem ineinander überführt werden können, wird schnell kompliziert (die Menge der betrachteten Objekte muss im Allgemeinen kein Vektorraum mehr sein). Hier betrachten wir endliche geordnete Punktmengen. Wir fixieren eine Zahl und betrachten Punkttupel

die wir uns als eine geordnete Punktkonfiguration in vorstellen. Die Punkte sind also durchnummeriert, und es ist auch der Fall erlaubt, dass ist. Die Operation der allgemeinen linearen Gruppe dehnt sich sofort auf diese Situation aus, und zwar ist die Operation durch

gegeben.

Im einfachsten Fall, bei , geht es um die Operation der Einheitengruppe auf durch skalare komponentenweise Multiplikation. Die Bahnen sind neben dem Nullpunkt die punktierten Geraden durch den Nullpunkt. Außer den konstanten Funktionen gibt es keine invarianten Polynome. Die auf eingeschränkte Operation besitzt den -dimensionalen projektiven Raum als Quotienten.