Alternierende Gruppe/Polynomring/Invariantenring/Fakt/Beweis

Beweis

Die Gleichheit rechts ergibt sich aus Fakt und Fakt. Auf ${}K[V]^{A_{n}}$ operiert die Restklassengruppe ${}S_{n}/A_{n}=\{1,-1\}=\mathbb {Z} /(2)$ wie in Fakt beschrieben. Es sei ${}\tau$ das nichttriviale Element daraus. Dieses wird repräsentiert durch eine beliebige ungerade Permutation, etwa durch eine Transposition. Es sei ${}F\in K[V]^{A_{n}}$ ein Polynom, das invariant unter der alternierenden Gruppe ist. Nach Fakt  (3) ist ${}F\tau$ unabhängig von dem gewählten Repräsentanten ${}\tau$. Es ist

${}F={\frac {1}{2}}(F+F\tau )+{\frac {1}{2}}(F-F\tau )\,,$

wobei die beiden Summanden symmetrisch bzw. signumsinvariant sind. Dies überprüft man, indem man die (geraden oder ungeraden) Permutationen darauf anwendet. Die Summe ist direkt, da der Durchschnitt ${}0$ ist: Ein Polynom, das sowohl symmetrisch als auch signumsinvariant ist, muss ${}0$ sein.

Zur bewiesenen Aussage