Alternierende Gruppe 4/Kleinsche Vierergruppe als Normalteiler/Beispiel

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Wir betrachten die alternierende Gruppe . Die vier Permutationen (in Zykeldarstellung)

bilden darin eine kommutative Untergruppe , in der jedes Element die Ordnung besitzt. Sie ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe. Es handelt sich sogar um einen Normalteiler vom Index drei. Um dies einzusehen verwenden wir Fakt und betrachten exemplarisch und mit dem Inversen . Wir erhalten

was wieder zu gehört. Die Restklassengruppe muss isomorph zu sein, die beiden anderen (neben ) Nebenklassen sind einerseits die Dreierzykel

und andererseits die dazu inversen Dreierzykel

Wenn man einen Tetraeder mit nummerierten Ecken anschaut, so entsprechen diese beiden Nebenklassen den Dritteldrehungen im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn um die Seiteneckachsen, wobei die Drehrichtung dadurch festgelegt ist, dass man auf den Eckpunkt schaut (welche Orientierung zu welcher Nebenklasse gehört, hängt dabei von der Nummerierung der Ecken ab).