Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die offene Kugel mit Mittelpunkt ${}x\in M$ und Radius ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ in einem metrischen Raum ${}M$.
2. Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung ${}v'=f(t,v)$, wobei

   $f\colon I\times U\longrightarrow V$

   ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ${}I$ ein Intervall und ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge ist).

3. Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung

   $f\colon V\longrightarrow W,$

   wobei ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$.

4. Die Hesse-Form zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

5. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräumen durch einen Punkt ${}P\in V$, in dem das totale Differential surjektiv ist.

6. Die gleichmäßige Konvergenz einer Abbildungsfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow M,$

   wobei ${}T$ eine Menge und ${}M$ ein metrischer Raum ist.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen