Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ${}u,v,w\in V$).
   1. Es ist  ${}d(v,w)\geq 0$. 
   2. Es ist  ${}d(v,w)=0$  genau dann, wenn ${}v=w$.
   3. Es ist  ${}d(v,w)=d(w,v)$. 
   4. Es ist

      ${}d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$

2. Es sei  ${}G\subseteq V$  offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für  ${}u,v\in V$  die zweiten Richtungsableitungen ${}D_{v}D_{u}\varphi$ und ${}D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt

   ${}D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi \,.$

3. Wenn die Abbildungen ${}f_{n}$ alle stetig sind, so ist auch die Grenzabbildung ${}f$ stetig.

Zur gelösten Aufgabe