Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${}{\mathcal {T}}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von ${}M$.
2. Eine maßtreue Abbildung ist eine messbare Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   mit der Eigenschaft, dass für jede messbare Menge  ${}T\subseteq N$  die Beziehung

   ${}\nu (T)=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

   gilt.

3. Die messbare numerische Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   heißt ${}\sigma$-einfach, wenn sie nur abzählbar viele Werte besitzt.

4. Man nennt das für jede messbare Teilmenge  ${}T\subseteq M$  durch

   ${}\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$

   definierte Maß auf ${}M$ das Maß zur Dichte ${}g$.

5. Eine Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   mit  ${}U\subseteq M$  und  ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen heißt orientiert, wenn der ${}\mathbb {R} ^{n}$ orientiert ist.

6. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt differenzierbar in ${}P$, wenn es eine offene Umgebung  ${}P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  und eine Fortsetzung

   ${\tilde {\varphi }}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   mit  ${}{\tilde {\varphi }}{|}_{U\cap V}=\varphi {|}_{U\cap V}$  gibt, die in ${}P$ differenzierbar ist.

Zur gelösten Aufgabe