Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $(M,𝒯)$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von $𝒯$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von $M$.
2. Eine maßtreue Abbildung ist eine messbare Abbildung

   $\phi :M⟶N$

   mit der Eigenschaft, dass für jede messbare Menge  $T\subseteq N$  die Beziehung

   $\nu (T)=\mu ({\phi }^{-1}(T))$

   gilt.

3. Die messbare numerische Funktion

   $f:M⟶\overline{ℝ}$

   heißt $\sigma$-einfach, wenn sie nur abzählbar viele Werte besitzt.

4. Man nennt das für jede messbare Teilmenge  $T\subseteq M$  durch

   $\nu (T):={\int }_{T}gd\mu$

   definierte Maß auf $M$ das Maß zur Dichte $g$.

5. Eine Karte

   $\alpha :U⟶V$

   mit  $U\subseteq M$  und  $V\subseteq {ℝ}^n$  offen heißt orientiert, wenn der ${ℝ}^n$ orientiert ist.

6. Die Abbildung $\phi$ heißt differenzierbar in $P$, wenn es eine offene Umgebung  $P\in V\subseteq {ℝ}^n$  und eine Fortsetzung

   $\tilde{\phi }:V⟶{ℝ}^m$

   mit  $\tilde{\phi }{|}_{U\cap V}=\phi {|}_{U\cap V}$  gibt, die in $P$ differenzierbar ist.

Zur gelösten Aufgabe