Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Topologischer Raum/Teilmenge/Inneres/Definition/Begriff/Inhalt
2. Topologischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition/Begriff/Inhalt
3. Topologischer Raum/Funktion/Träger/Definition/Begriff/Inhalt
4. Eine kompakte Ausschöpfung ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, von ${}X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen  ${}A_{n}\subseteq X$  mit

   $A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$

5. Eine Familie von Funktionen

   $h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit  ${}j\in J$  heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.

   1. Es ist  ${}h_{j}(X)\subseteq [0,1]$  für alle  ${}j\in J$. 
   2. Jeder Punkt  ${}P\in X$  besitzt eine offene Umgebung  ${}P\in U$  derart, dass die eingeschränkten Funktionen ${}h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
   3. Es ist  ${}\sum _{j\in J}h_{j}=1$. 
   4. Für jedes  ${}j\in J$  gibt es eine offene Menge ${}W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart, dass der Träger von ${}h_{j}$ in ${}W_{i(j)}$ liegt.
6. Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${}x_{n}$. Dann setzt man

   ${}\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,{\left(H\right)}}\,$

   und nennt diese Zahl (eventuell ${}+\infty$) den Limes superior der Folge.

Zur gelösten Aufgabe