Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Der Produkt-Präring ist der von allen Quadern

   $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

   erzeugte Präring in ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.

2. Das Borel-Lebesgue-Maß auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist das (eindeutig bestimmte) Maß ${}\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das für jeden Quader der Form ${}Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ den Wert ${}\lambda (Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$ besitzt.
3. Der Kegel zur Basis ${}B$ mit der Spitze ${}P$ ist definiert durch

   ${}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$

4. Der Punkt ${}Q\in L$ heißt regulär für ${}\varphi$, wenn die Tangentialabbildung

   $T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$

   im Punkt ${}Q$ maximalen Rang besitzt.

5. Es seien

   $\alpha _{1}\colon U_{1}\longrightarrow V_{1}$

   und

   $\alpha _{2}\colon U_{2}\longrightarrow V_{2}$

   orientierte Karten von ${}M$. Der zugehörige Kartenwechsel

   $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

   heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential

   $\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   orientierungstreu ist.

6. Die Form ${}\omega$ besitzt auf ${}U$ eine Darstellung

   $\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}$

   mit stetig differenzierbaren Funktionen

   $f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

   Dann ist die äußere Ableitung die ${}(k+1)$-Form

   ${}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.$

Zur gelösten Aufgabe