Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
   1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
   2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
   3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle ${}i\in I$, so ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
2. Das Prämaß ${}\mu$ heißt endlich, wenn

   ${}\mu (T)<\infty \,$

   für alle ${}T\in {\mathcal {P}}$ ist.

3. Eine messbare numerische Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   heißt integrierbar, wenn die beiden Integrale ${}\int _{M}f_{+}\,d\mu$ und ${}\int _{M}f_{-}\,d\mu$ endlich sind.

4. Eine topologische Karte ist jede Homöomorphie

   $\varphi \colon U\longrightarrow V,$

   wobei ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen sind.

5. Eine Abbildung

   $F\colon M\longrightarrow TM$

   mit der Eigenschaft, dass ${}F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt ${}P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.

6. Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension ${}n$ versteht man die Menge

   ${}H={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0\right\}}\,$

   mit der induzierten Topologie.

Zur gelösten Aufgabe